ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень проверь себя, глава - 5

### 1 Дано: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Так как угол $\alpha$ принадлежит II четверти, синус в этой четверти положителен ($\sin \alpha > 0$). 1) По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $$ Учитывая, что $\sin \alpha > 0$: $$ \sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $$ 2) Найдем $\operatorname{tg} \alpha$ по определению тангенса: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} $$ 3) Найдем $\cos 2\alpha$ по формуле косинуса двойного угла: $$ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} $$ Ответ: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$; $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{3}{4}$; $\cos 2\alpha = \frac{7}{25}$. --- ### 2 1) Используем формулу приведения $\cos(180^\circ - \beta) = -\cos \beta$: $$ \cos 135^\circ = \cos (180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ 2) Выделим период функции $2\pi$ и применим формулу приведения $\sin(\pi - \beta) = \sin \beta$: $$ \sin \frac{8\pi}{3} = \sin \left( 2\pi + \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ 3) Выделим период функции тангенса (периодичность с шагом $\pi$ или $2\pi$): $$ \operatorname{tg} \frac{7\pi}{3} = \operatorname{tg} \left( 2\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $$ 4) Применим формулу косинуса двойного угла $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$: $$ \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Ответ: 1) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; 2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$; 3) $\sqrt{3}$; 4) $\frac{\sqrt{2}}{2}$. --- ### 3 1) Преобразуем левую часть равенства, вынеся знак минус за скобки: $$ 3 \cos 2\alpha + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 3 \cos 2\alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) $$ Так как $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$, получаем: $$ 3 \cos 2\alpha - \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha $$ Левая часть равна правой ($2 \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha$). Тождество доказано. 2) Преобразуем числитель левой части с помощью формулы разности синусов: $$ \sin 5\alpha - \sin 3\alpha = 2 \sin \frac{5\alpha - 3\alpha}{2} \cos \frac{5\alpha + 3\alpha}{2} = 2 \sin \alpha \cos 4\alpha $$ Подставим полученное выражение в дробь: $$ \frac{2 \sin \alpha \cos 4\alpha}{2 \cos 4\alpha} = \sin \alpha $$ Левая часть равна правой ($\sin \alpha = \sin \alpha$). Тождество доказано. --- ### 4 1) Используем формулу приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha$ и нечетность синуса $\sin(-\beta) = -\sin \beta$: $$ \sin (\alpha - \beta) - \sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \cdot \sin (-\beta) = \sin (\alpha - \beta) - \cos \alpha \cdot (-\sin \beta) = \sin (\alpha - \beta) + \cos \alpha \sin \beta $$ Раскроем синус разности по формуле $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$: $$ \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta $$ 2) Применим формулы приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$ и $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$: $$ \cos^2 (\pi - \alpha) - \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = (-\cos \alpha)^2 - (\sin \alpha)^2 = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha $$ 3) Раскроем косинус суммы по формуле $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$: $$ 2 \sin \alpha \sin \beta + \cos (\alpha + \beta) = 2 \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $$ Приведем подобные слагаемые и свернем по формуле косинуса разности: $$ \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos (\alpha - \beta) $$ Ответ: 1) $\sin \alpha \cos \beta$; 2) $\cos 2\alpha$; 3) $\cos (\alpha - \beta)$.