ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на Проверь себя, Глава 4

### Задание 1 1) Вычислим значение выражения: $$ \log_5 125 = \log_5 (5^3) = 3 $$ Ответ: $3$. 2) Запишем десятичную дробь в виде степени числа $10$: $$ \lg 0,01 = \lg (10^{-2}) = -2 $$ Ответ: $-2$. 3) Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $$ 2^{\log_2 3} = 3 $$ Ответ: $3$. 4) Используем свойство степени логарифма $k \log_a b = \log_a (b^k)$ и основное логарифмическое тождество: $$ 3^{2\log_3 7} = 3^{\log_3 (7^2)} = 3^{\log_3 49} = 49 $$ Ответ: $49$. 5) Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}$: $$ \log_2 68 - \log_2 17 = \log_2 \frac{68}{17} = \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2 $$ Ответ: $2$. --- ### Задание 2 1) $y = \log_{0,2} x$ * Область определения: $x \in (0; +\infty)$. * Основание логарифма $a = 0,2$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, следовательно, функция является строго убывающей на всей области определения. * Ось ординат ($x = 0$) является вертикальной асимптотой: при $x \to 0+$ значения $y \to +\infty$. * График проходит через характерные точки: $(1; 0)$, $(5; -1)$, $(0,2; 1)$. * Схематически график представляет собой плавную кривую в I и IV координатных четвертях, спускающуюся слева направо из бесконечности вдоль оси $Oy$, пересекающую ось $Ox$ в точке $(1; 0)$ и уходящую вправо вниз. 2) $y = \log_2 x$ * Область определения: $x \in (0; +\infty)$. * Основание логарифма $a = 2$ удовлетворяет условию $a > 1$, следовательно, функция является строго возрастающей на всей области определения. * Ось ординат ($x = 0$) является вертикальной асимптотой: при $x \to 0+$ значения $y \to -\infty$. * График проходит через характерные точки: $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(4; 2)$, $(0,5; -1)$. * Схематически график представляет собой плавную кривую в I и IV координатных четвертях, поднимающуюся снизу вверх из бесконечности вдоль оси $Oy$, пересекающую ось $Ox$ в точке $(1; 0)$ и уходящую вправо вверх. --- ### Задание 3 1) Сравнить $\log_{0,2} 3$ и $\log_{0,2} 2,5$. Логарифмическая функция $y = \log_{0,2} x$ имеет основание $0 < 0,2 < 1$, поэтому она является убывающей на промежутке $(0; +\infty)$. Большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Так как $3 > 2,5$, то: $$ \log_{0,2} 3 < \log_{0,2} 2,5 $$ Ответ: $\log_{0,2} 3 < \log_{0,2} 2,5$. 2) Сравнить $\log_2 0,7$ и $\log_2 1,2$. Логарифмическая функция $y = \log_2 x$ имеет основание $2 > 1$, поэтому она является возрастающей на промежутке $(0; +\infty)$. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Так как $0,7 < 1,2$, то: $$ \log_2 0,7 < \log_2 1,2 $$ Ответ: $\log_2 0,7 < \log_2 1,2$. --- ### Задание 4 1) $\log_5 (3x + 1) = 2$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ 3x + 1 > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -\frac{1}{3} $$ По определению логарифма: $$ 3x + 1 = 5^2 $$ $$ 3x + 1 = 25 $$ $$ 3x = 24 $$ $$ x = 8 $$ Проверка по ОДЗ: $8 > -\dfrac{1}{3}$ — корень подходит. Ответ: $x = 8$. 2) $\log_3 (x + 2) + \log_3 x = 1$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0 $$ Применим свойство суммы логарифмов: $$ \log_3 (x(x + 2)) = 1 $$ $$ x(x + 2) = 3^1 $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 1, \quad x_2 = -3 $$ Проверка по ОДЗ: * $x_1 = 1 > 0$ — подходит; * $x_2 = -3 < 0$ — посторонний корень. Ответ: $x = 1$. 3) $\ln (x^2 - 6x + 9) = \ln 3 + \ln (x + 3)$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x^2 - 6x + 9 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} (x - 3)^2 > 0 \\ x > -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 3 \\ x > -3 \end{cases} $$ Преобразуем правую часть уравнения по свойству суммы логарифмов: $$ \ln (x^2 - 6x + 9) = \ln (3(x + 3)) $$ Потенцируя, получаем: $$ x^2 - 6x + 9 = 3x + 9 $$ $$ x^2 - 9x = 0 $$ $$ x(x - 9) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 9 $$ Проверка по ОДЗ: * Для $x_1 = 0$: $0 > -3$ и $0 \neq 3$ — подходит. * Для $x_2 = 9$: $9 > -3$ и $9 \neq 3$ — подходит. Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 9$. --- ### Задание 5 Решить систему уравнений: $$ \begin{cases} \ln x - \ln y = \ln 3, \\ x - 2y = 5. \end{cases} $$ ОДЗ системы: $x > 0$, $y > 0$. Преобразуем первое уравнение, используя свойство разности логарифмов: $$ \ln \frac{x}{y} = \ln 3 \implies \frac{x}{y} = 3 \implies x = 3y $$ Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение: $$ 3y - 2y = 5 $$ $$ y = 5 $$ Найдем значение $x$: $$ x = 3 \cdot 5 = 15 $$ Проверим выполнение условий ОДЗ: $x = 15 > 0$ и $y = 5 > 0$ — условия выполнены. Ответ: $(15; 5)$. --- ### Задание 6 1) $\log_3 (x - 1) \leqslant 2$ ОДЗ: $x - 1 > 0 \implies x > 1$. Представим число $2$ как логарифм по основанию $3$: $2 = \log_3 9$. $$ \log_3 (x - 1) \leqslant \log_3 9 $$ Так как основание $3 > 1$, функция $y = \log_3 t$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ x - 1 \leqslant 9 \implies x \leqslant 10 $$ С учетом ОДЗ получаем систему: $$ \begin{cases} x > 1 \\ x \leqslant 10 \end{cases} \implies 1 < x \leqslant 10 $$ Ответ: $x \in (1; 10]$. 2) $\log_{\frac{1}{5}}(2 - x) > -1$ ОДЗ: $2 - x > 0 \implies x < 2$. Представим число $-1$ как логарифм по основанию $\dfrac{1}{5}$: $$ -1 = \log_{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{5}} 5 $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_{\frac{1}{5}}(2 - x) > \log_{\frac{1}{5}} 5 $$ Так как основание $0 < \dfrac{1}{5} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{5}} t$ убывает, поэтому при переходе к выражениям под знаком логарифма знак неравенства меняется на противоположный: $$ 2 - x < 5 $$ $$ -x < 3 \implies x > -3 $$ С учетом ОДЗ получаем: $$ \begin{cases} x > -3 \\ x < 2 \end{cases} \implies -3 < x < 2 $$ Ответ: $x \in (-3; 2)$.