ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 488

1. Найдем $\cos \alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $$ По условию $\frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi$ (угол находится в IV четверти), где косинус положителен, поэтому: $$ \cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $$ 2. Найдем $\cos \beta$, используя тождество $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$: $$ \cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289} $$ По условию $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ (угол находится в I четверти), где косинус положителен, поэтому: $$ \cos \beta = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} $$ 3. Применим формулу косинуса суммы двух углов: $$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $$ Подставим найденные значения: $$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{17} - \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85} $$ 4. Применим формулу косинуса разности двух углов: $$ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $$ Подставим найденные значения: $$ \cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{17} + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} = \frac{60}{85} - \frac{24}{85} = \frac{36}{85} $$ Ответ: $\cos(\alpha + \beta) = \frac{84}{85}$, $\cos(\alpha - \beta) = \frac{36}{85}$.