ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 487

**1)** $\sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \cos(-\beta)$ Используем свойство чётности косинуса $\cos(-\beta) = \cos\beta$, нечётности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$: $$ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \cos(-\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta + (-\sin\alpha)\cos\beta = $$ $$ = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta = \cos\alpha\sin\beta $$ **2)** $\cos(-\alpha) \sin(-\beta) - \sin(\alpha - \beta)$ Используем чётность косинуса $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$, нечётность синуса $\sin(-\beta) = -\sin\beta$ и формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$: $$ \cos(-\alpha) \sin(-\beta) - \sin(\alpha - \beta) = \cos\alpha(-\sin\beta) - (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) = $$ $$ = -\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = -\sin\alpha\cos\beta $$ **3)** $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) - \sin(\alpha - \beta)$ По формулам приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$ и $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \cos\beta$. Раскроем синус разности: $$ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) - \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) = $$ $$ = \sin\alpha\cos\beta - \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \cos\alpha\sin\beta $$ **4)** $\sin(\alpha + \beta) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \sin(-\beta)$ По формуле приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$, по свойству нечётности $\sin(-\beta) = -\sin\beta$, а по формуле синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$: $$ \sin(\alpha + \beta) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \sin(-\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta + \cos\alpha(-\sin\beta) = $$ $$ = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta - \cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta $$ **Ответ:** 1) $\cos\alpha\sin\beta$ 2) $-\sin\alpha\cos\beta$ 3) $\cos\alpha\sin\beta$ 4) $\sin\alpha\cos\beta$