ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 460

Для нахождения значений тригонометрических функций воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$ Так как четверть, которой принадлежит угол $\alpha$, в условии не указана, значения синуса и косинуса могут быть как положительными, так и отрицательными. 1) Найдём $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{5}$: $$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $$ $$ \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 3}{25} = 1 - \frac{12}{25} = \frac{13}{25} $$ Отсюда: $$ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{13}{25}} = \pm\frac{\sqrt{13}}{5} $$ 2) Найдём $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}$: $$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $$ $$ \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $$ Отсюда: $$ \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5} $$ 3) Найдём $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{2}{3}$: $$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $$ $$ \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $$ Отсюда: $$ \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} $$ 4) Найдём $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$: $$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $$ $$ \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$ Отсюда: $$ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3} $$ **Ответ:** 1) $\pm\frac{\sqrt{13}}{5}$; 2) $\pm\frac{2}{\sqrt{5}}$ (или $\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$); 3) $\pm\frac{\sqrt{5}}{3}$; 4) $\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ (или $\pm\frac{\sqrt{6}}{3}$).