ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 459

1) Дано: $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Угол $\alpha$ лежит в IV четверти, поэтому $\sin \alpha < 0$, $\operatorname{tg} \alpha < 0$, $\operatorname{ctg} \alpha < 0$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} $$ Находим тангенс и котангенс: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5} = -2,4 $$ $$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = -\frac{5}{12} $$ Ответ: $\sin \alpha = -\frac{12}{13}$; $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{12}{5}$ (или $-2,4$); $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{5}{12}$. --- 2) Дано: $\sin \alpha = 0,8$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Угол $\alpha$ лежит во II четверти, следовательно, $\cos \alpha < 0$, $\operatorname{tg} \alpha < 0$, $\operatorname{ctg} \alpha < 0$. Находим косинус: $$ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - 0,8^2} = -\sqrt{1 - 0,64} = -\sqrt{0,36} = -0,6 $$ Находим тангенс и котангенс: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,8}{-0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} $$ $$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = -\frac{3}{4} = -0,75 $$ Ответ: $\cos \alpha = -0,6$; $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{4}{3}$; $\operatorname{ctg} \alpha = -0,75$. --- 3) Дано: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{15}{8}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Угол $\alpha$ лежит в III четверти, значит, $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$, $\operatorname{ctg} \alpha > 0$. Находим котангенс: $$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{8}{15} $$ Используем тождество $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$: $$ \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \left(\frac{15}{8}\right)^2 = 1 + \frac{225}{64} = \frac{289}{64} \implies \cos^2 \alpha = \frac{64}{289} $$ Так как $\alpha$ лежит в III четверти: $$ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17} $$ Находим синус: $$ \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{15}{8} \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) = -\frac{15}{17} $$ Ответ: $\cos \alpha = -\frac{8}{17}$; $\sin \alpha = -\frac{15}{17}$; $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{8}{15}$. --- 4) Дано: $\operatorname{ctg} \alpha = -3$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Угол $\alpha$ лежит в IV четверти, поэтому $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$, $\operatorname{tg} \alpha < 0$. Находим тангенс: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = -\frac{1}{3} $$ Используем тождество $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$: $$ \frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10 \implies \sin^2 \alpha = \frac{1}{10} $$ Так как $\sin \alpha < 0$: $$ \sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} $$ Находим косинус: $$ \cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha = -3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = \frac{3\sqrt{10}}{10} $$ Ответ: $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{1}{3}$; $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$; $\cos \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$. --- 5) Дано: $\cos \alpha = 0,8$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Угол $\alpha$ лежит в I четверти, поэтому все тригонометрические функции положительны. Находим синус: $$ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6 $$ Находим тангенс и котангенс: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{3}{4} = 0,75 $$ $$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{4}{3} $$ Ответ: $\sin \alpha = 0,6$; $\operatorname{tg} \alpha = 0,75$; $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{4}{3}$. --- 6) Дано: $\sin \alpha = -\frac{5}{13}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Угол $\alpha$ лежит в IV четверти, поэтому $\cos \alpha > 0$, $\operatorname{tg} \alpha < 0$, $\operatorname{ctg} \alpha < 0$. Находим косинус: $$ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} $$ Находим тангенс и котангенс: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12} $$ $$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = -\frac{12}{5} = -2,4 $$ Ответ: $\cos \alpha = \frac{12}{13}$; $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{5}{12}$; $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{12}{5}$ (или $-2,4$). --- 7) Дано: $\operatorname{tg} \alpha = -2,4$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Угол $\alpha$ лежит во II четверти, следовательно, $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, $\operatorname{ctg} \alpha < 0$. Запишем тангенс в виде обыкновенной дроби: $\operatorname{tg} \alpha = -2,4 = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5}$. Находим котангенс: $$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = -\frac{5}{12} $$ Используем тождество $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$: $$ \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \left(-\frac{12}{5}\right)^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{169}{25} \implies \cos^2 \alpha = \frac{25}{169} $$ Так как $\cos \alpha < 0$: $$ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} $$ Находим синус: $$ \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \left(-\frac{12}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{12}{13} $$ Ответ: $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{5}{12}$; $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$; $\sin \alpha = \frac{12}{13}$. --- 8) Дано: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Угол $\alpha$ лежит в III четверти, значит, $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$, $\operatorname{tg} \alpha > 0$. Находим тангенс: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{24}{7} $$ Используем тождество $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$: $$ \frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + \left(\frac{7}{24}\right)^2 = 1 + \frac{49}{576} = \frac{625}{576} \implies \sin^2 \alpha = \frac{576}{625} $$ Так как $\sin \alpha < 0$: $$ \sin \alpha = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25} = -0,96 $$ Находим косинус: $$ \cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha = \frac{7}{24} \cdot \left(-\frac{24}{25}\right) = -\frac{7}{25} = -0,28 $$ Ответ: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{24}{7}$; $\sin \alpha = -\frac{24}{25}$ (или $-0,96$); $\cos \alpha = -\frac{7}{25}$ (или $-0,28$).