ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 384

1) Вычислим $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3\sqrt[3]{3}}$. Представим основание и подлогарифмическое выражение в виде степеней числа $3$: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$; $3\sqrt[3]{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3^{1 + \frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}$, следовательно, $\frac{1}{3\sqrt[3]{3}} = 3^{-\frac{4}{3}}$. Используем свойство логарифма степени $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$: $$ \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3\sqrt[3]{3}} = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^{-\frac{4}{3}} = \frac{-\frac{4}{3}}{\frac{1}{2}} \log_3 3 = -\frac{4}{3} \cdot 2 \cdot 1 = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} $$ 2) Вычислим $\log_{\sqrt{5}} \frac{1}{25\sqrt[4]{5}}$. Представим основание и выражение под знаком логарифма в виде степеней числа $5$: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$; $25\sqrt[4]{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{4}} = 5^{2 + \frac{1}{4}} = 5^{\frac{9}{4}}$, следовательно, $\frac{1}{25\sqrt[4]{5}} = 5^{-\frac{9}{4}}$. Применим свойство логарифма степени: $$ \log_{\sqrt{5}} \frac{1}{25\sqrt[4]{5}} = \log_{5^{\frac{1}{2}}} 5^{-\frac{9}{4}} = \frac{-\frac{9}{4}}{\frac{1}{2}} \log_5 5 = -\frac{9}{4} \cdot 2 \cdot 1 = -\frac{9}{2} = -4,5 $$ 3) Вычислим $2^{2 - \log_2 5}$. Используем свойство деления степеней с одинаковыми основаниями $a^{x - y} = \frac{a^x}{a^y}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $$ 2^{2 - \log_2 5} = \frac{2^2}{2^{\log_2 5}} = \frac{4}{5} = 0,8 $$ 4) Вычислим $3,6^{\log_{3,6} 10 + 1}$. Применим свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями $a^{x + y} = a^x \cdot a^y$ и основное логарифмическое тождество: $$ 3,6^{\log_{3,6} 10 + 1} = 3,6^{\log_{3,6} 10} \cdot 3,6^1 = 10 \cdot 3,6 = 36 $$ 5) Вычислим $2 \log_5 \sqrt{5} + 3 \log_2 8$. Преобразуем каждое слагаемое: $2 \log_5 \sqrt{5} = 2 \log_5 5^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_5 5 = 1 \cdot 1 = 1$; $3 \log_2 8 = 3 \log_2 2^3 = 3 \cdot 3 \log_2 2 = 9 \cdot 1 = 9$. Сложим полученные значения: $$ 2 \log_5 \sqrt{5} + 3 \log_2 8 = 1 + 9 = 10 $$ 6) Вычислим $\log_2 \log_2 \log_2 2^{16}$. Выполним вычисления последовательно от внутренних логарифмов к внешним: 1. $\log_2 2^{16} = 16 \log_2 2 = 16$; 2. $\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4 \log_2 2 = 4$; 3. $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2 \log_2 2 = 2$. Запишем цепочку преобразований: $$ \log_2 \log_2 \log_2 2^{16} = \log_2 \log_2 16 = \log_2 4 = 2 $$ **Ответ:** 1) $-2\frac{2}{3}$; 2) $-4,5$; 3) $0,8$; 4) $36$; 5) $10$; 6) $2$.