ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 369

**1)** Вычислим $\log_{\frac{1}{4}} 64$. Пусть $\log_{\frac{1}{4}} 64 = x$. По определению логарифма: $$ \left(\frac{1}{4}\right)^x = 64 $$ Представим обе части уравнения как степени с основанием $4$: $$ (4^{-1})^x = 4^3 $$ $$ 4^{-x} = 4^3 $$ Отсюда: $-x = 3$, то есть $x = -3$. Значит, $\log_{\frac{1}{4}} 64 = -3$. **2)** Вычислим $\log_{\frac{1}{3}} 81$. Пусть $\log_{\frac{1}{3}} 81 = x$. По определению логарифма: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^x = 81 $$ Представим обе части уравнения как степени с основанием $3$: $$ (3^{-1})^x = 3^4 $$ $$ 3^{-x} = 3^4 $$ Отсюда: $-x = 4$, то есть $x = -4$. Значит, $\log_{\frac{1}{3}} 81 = -4$. **3)** Вычислим $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$. Пусть $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = x$. По определению логарифма: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{27} $$ Так как $\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$, получаем: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^3 $$ Отсюда: $x = 3$. Значит, $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = 3$. **4)** Вычислим $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64}$. Пусть $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} = x$. По определению логарифма: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{64} $$ Так как $\frac{1}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^6$, получаем: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^6 $$ Отсюда: $x = 6$. Значит, $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} = 6$. **Ответ:** 1) $-3$; 2) $-4$; 3) $3$; 4) $6$.