ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 367

Решим неравенство: $$ 4^x (\sqrt{16^{1-x}-1}+2) < 4|4^x-1| $$ ### 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ 16^{1-x} - 1 \ge 0 $$ $$ 16^{1-x} \ge 16^0 $$ Так как основание $16 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ 1 - x \ge 0 \implies x \le 1 $$ ### 2. Замена переменной Пусть $t = 4^x$. Так как $x \le 1$, а показательная функция $y = 4^x$ строго возрастает и принимает только положительные значения, получаем ограничение на $t$: $$ 0 < t \le 4^1 \implies t \in (0; 4] $$ Преобразуем подкоренное выражение: $$ 16^{1-x} = (4^{1-x})^2 = \left(\frac{4}{4^x}\right)^2 = \frac{16}{t^2} $$ Тогда корень примет вид (учитывая, что $t > 0$): $$ \sqrt{16^{1-x}-1} = \sqrt{\frac{16}{t^2} - 1} = \sqrt{\frac{16 - t^2}{t^2}} = \frac{\sqrt{16 - t^2}}{t} $$ Подставим полученные выражения в исходное неравенство: $$ t \left(\frac{\sqrt{16 - t^2}}{t} + 2\right) < 4|t - 1| $$ Раскроем скобки в левой части: $$ \sqrt{16 - t^2} + 2t < 4|t - 1| $$ ### 3. Решение неравенства относительно $t$ Раскроем знак модуля на области допустимых значений переменной $t \in (0; 4]$. #### Случай 1: $t \in [1; 4]$ При этих значениях $t - 1 \ge 0$, поэтому $|t - 1| = t - 1$. Неравенство принимает вид: $$ \sqrt{16 - t^2} + 2t < 4(t - 1) $$ $$ \sqrt{16 - t^2} + 2t < 4t - 4 $$ $$ \sqrt{16 - t^2} < 2t - 4 $$ Левая часть неравенства неотрицательна ($\sqrt{16 - t^2} \ge 0$), следовательно, правая часть должна быть строго положительной: $$ 2t - 4 > 0 \implies t > 2 $$ При $t \le 2$ решений нет, так как неотрицательное число не может быть меньше неположительного. Для $t \in (2; 4]$ обе части неравенства положительны, поэтому возведем их в квадрат: $$ 16 - t^2 < (2t - 4)^2 $$ $$ 16 - t^2 < 4t^2 - 16t + 16 $$ $$ 5t^2 - 16t > 0 $$ $$ t(5t - 16) > 0 $$ Так как $t > 2 > 0$, разделим на $t$: $$ 5t - 16 > 0 \implies t > \frac{16}{5} $$ С учетом условия $t \in (2; 4]$ получаем: $$ \frac{16}{5} < t \le 4 $$ #### Случай 2: $t \in (0; 1)$ При этих значениях $t - 1 < 0$, поэтому $|t - 1| = -(t - 1) = 1 - t$. Неравенство принимает вид: $$ \sqrt{16 - t^2} + 2t < 4(1 - t) $$ $$ \sqrt{16 - t^2} + 2t < 4 - 4t $$ $$ \sqrt{16 - t^2} < 4 - 6t $$ Так как $\sqrt{16 - t^2} \ge 0$, решения могут существовать только при условии $4 - 6t > 0$, то есть $t < \frac{2}{3}$. При $t \in \left(0; \frac{2}{3}\right)$ обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат: $$ 16 - t^2 < (4 - 6t)^2 $$ $$ 16 - t^2 < 16 - 48t + 36t^2 $$ $$ 37t^2 - 48t > 0 $$ $$ t(37t - 48) > 0 $$ Так как $t > 0$, получаем: $$ 37t - 48 > 0 \implies t > \frac{48}{37} $$ Но $\frac{48}{37} > 1$, что противоречит условию $t < \frac{2}{3}$. Следовательно, в этом случае решений нет. ### 4. Обратная замена Объединяя результаты обоих случаев, получаем: $$ \frac{16}{5} < t \le 4 $$ Возвращаемся к переменной $x$: $$ \frac{16}{5} < 4^x \le 4 $$ Так как показательная функция с основанием $4 > 1$ строго возрастает: $$ \log_4\left(\frac{16}{5}\right) < x \le \log_4 4 $$ Упростим логарифм в левой части: $$ \log_4\left(\frac{16}{5}\right) = \log_4 16 - \log_4 5 = 2 - \log_4 5 $$ Таким образом: $$ 2 - \log_4 5 < x \le 1 $$ Ответ: $x \in (2 - \log_4 5; 1]$