ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 344

### 1) $\log_4 \left( (x+2)(x+3) \right) + \log_4 \frac{x-2}{x+3} = 2$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} (x+2)(x+3) > 0 \\ \dfrac{x-2}{x+3} > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство методом интервалов: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; +\infty)$. Решим второе неравенство методом интервалов: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$. Пересекая полученные промежутки, находим ОДЗ: $$ x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty) $$ 2. Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $$ \log_4 \left( (x+2)(x+3) \cdot \frac{x-2}{x+3} \right) = 2 $$ Сократим дробь на $(x+3)$ при условии, что $x \neq -3$: $$ \log_4 ((x+2)(x-2)) = 2 $$ По определению логарифма: $$ (x+2)(x-2) = 4^2 $$ $$ x^2 - 4 = 16 $$ $$ x^2 = 20 $$ $$ x = \pm\sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5} $$ 3. Проверим соответствие корней ОДЗ: - $x_1 = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 > 2$ — входит в ОДЗ; - $x_2 = -2\sqrt{5} \approx -4{,}47 < -3$ — входит в ОДЗ. Ответ: $x = \pm 2\sqrt{5}$. --- ### 2) $\log_2 \frac{x-1}{x+4} + \log_2 \left( (x-1)(x+4) \right) = 2$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} \dfrac{x-1}{x+4} > 0 \\ (x-1)(x+4) > 0 \end{cases} $$ Оба неравенства имеют одно и то же решение: $$ x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty) $$ 2. Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: $$ \log_2 \left( \frac{x-1}{x+4} \cdot (x-1)(x+4) \right) = 2 $$ Сократим на $(x+4)$: $$ \log_2 (x-1)^2 = 2 $$ По определению логарифма: $$ (x-1)^2 = 2^2 $$ $$ (x-1)^2 = 4 $$ Отсюда получаем два случая: $x - 1 = 2 \implies x_1 = 3$; $x - 1 = -2 \implies x_2 = -1$. 3. Проверим корни по ОДЗ: - $x_1 = 3 > 1$ — входит в ОДЗ; - $x_2 = -1 \in [-4; 1]$ — не входит в ОДЗ (посторонний корень). Ответ: $x = 3$. --- ### 3) $\log_3 x^2 - \log_3 \frac{x}{x+6} = 3$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x^2 > 0 \\ \dfrac{x}{x+6} > 0 \end{cases} $$ Из первого условия: $x \neq 0$. Из второго условия: $x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)$. Общая ОДЗ: $$ x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty) $$ 2. Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$: $$ \log_3 \left( \frac{x^2}{\frac{x}{x+6}} \right) = 3 $$ $$ \log_3 \left( x^2 \cdot \frac{x+6}{x} \right) = 3 $$ Сократим на $x$ (так как $x \neq 0$): $$ \log_3 (x(x+6)) = 3 $$ По определению логарифма: $$ x(x+6) = 3^3 $$ $$ x^2 + 6x = 27 $$ $$ x^2 + 6x - 27 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 3, \quad x_2 = -9 $$ 3. Проверим корни по ОДЗ: - $x_1 = 3 \in (0; +\infty)$ — входит в ОДЗ; - $x_2 = -9 \in (-\infty; -6)$ — входит в ОДЗ. Ответ: $x_1 = -9$, $x_2 = 3$. --- ### 4) $\log_2 \frac{x+4}{x} + \log_2 x^2 = 5$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} \dfrac{x+4}{x} > 0 \\ x^2 > 0 \end{cases} $$ Из первого неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)$. Из второго неравенства: $x \neq 0$. Общая ОДЗ: $$ x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty) $$ 2. Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: $$ \log_2 \left( \frac{x+4}{x} \cdot x^2 \right) = 5 $$ Сократим на $x$: $$ \log_2 (x(x+4)) = 5 $$ По определению логарифма: $$ x(x+4) = 2^5 $$ $$ x^2 + 4x = 32 $$ $$ x^2 + 4x - 32 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 4, \quad x_2 = -8 $$ 3. Проверим корни по ОДЗ: - $x_1 = 4 \in (0; +\infty)$ — входит в ОДЗ; - $x_2 = -8 \in (-\infty; -4)$ — входит в ОДЗ. Ответ: $x_1 = -8$, $x_2 = 4$.