ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 326

**1)** $\log_3 x < 2$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ x > 0 $$ Представим число $2$ в виде логарифма по основанию $3$: $$ 2 = \log_3 3^2 = \log_3 9 $$ Исходное неравенство принимает вид: $$ \log_3 x < \log_3 9 $$ Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y = \log_3 t$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ x < 9 $$ Учитывая ОДЗ, получаем систему: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x < 9 \end{cases} \iff 0 < x < 9 $$ **Ответ:** $x \in (0; 9)$. --- **2)** $\log_{0,4} x > 2$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ x > 0 $$ Запишем правую часть в виде логарифма по основанию $0,4$: $$ 2 = \log_{0,4} (0,4)^2 = \log_{0,4} 0,16 $$ Неравенство запишется как: $$ \log_{0,4} x > \log_{0,4} 0,16 $$ Так как основание логарифма $0 < 0,4 < 1$, функция $y = \log_{0,4} t$ убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $$ x < 0,16 $$ Учитывая ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x < 0,16 \end{cases} \iff 0 < x < 0,16 $$ **Ответ:** $x \in (0; 0,16)$. --- **3)** $\log_{\frac{1}{2}} x \geqslant 16$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ x > 0 $$ Представим число $16$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$: $$ 16 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{16} $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_{\frac{1}{2}} x \geqslant \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{16} $$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{2}} t$ является убывающей, знак неравенства меняется на противоположный: $$ x \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{16} $$ С учётом ОДЗ получаем: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \end{cases} \iff 0 < x \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{16} $$ **Ответ:** $x \in \left(0; \left(\frac{1}{2}\right)^{16}\right]$. --- **4)** $\log_{0,4} x \leqslant 2$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ x > 0 $$ Запишем число $2$ в виде логарифма по основанию $0,4$: $$ 2 = \log_{0,4} (0,4)^2 = \log_{0,4} 0,16 $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_{0,4} x \leqslant \log_{0,4} 0,16 $$ Так как основание логарифма $0 < 0,4 < 1$, функция $y = \log_{0,4} t$ убывает, знак неравенства меняется на противоположный: $$ x \geqslant 0,16 $$ Условие $x > 0$ выполняется для всех $x \geqslant 0,16$. **Ответ:** $x \in [0,16; +\infty)$.