ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 313

1) $\log_2^2 x - 9 \log_8 x = 4$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Преобразуем логарифм по формуле перехода к новому основанию $\log_{a^n} x = \frac{1}{n} \log_a x$: $$ \log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x $$ Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$ \log_2^2 x - 9 \cdot \frac{1}{3} \log_2 x = 4 $$ $$ \log_2^2 x - 3 \log_2 x - 4 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 3t - 4 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 4$, $t_2 = -1$. Выполним обратную замену: 1) $\log_2 x = 4 \implies x = 2^4 \implies x = 16$; 2) $\log_2 x = -1 \implies x = 2^{-1} \implies x = 0{,}5$. Оба значения удовлетворяют условию $x > 0$. Ответ: $0{,}5; 16$. --- 2) $16 \log_{16}^2 x + 3 \log_4 x - 1 = 0$ ОДЗ: $x > 0$. Выразим логарифм по основанию $16$ через логарифм по основанию $4$: $$ \log_{16} x = \log_{4^2} x = \frac{1}{2} \log_4 x $$ Тогда: $$ \log_{16}^2 x = \left(\frac{1}{2} \log_4 x\right)^2 = \frac{1}{4} \log_4^2 x $$ Подставим в уравнение: $$ 16 \cdot \frac{1}{4} \log_4^2 x + 3 \log_4 x - 1 = 0 $$ $$ 4 \log_4^2 x + 3 \log_4 x - 1 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \log_4 x$. $$ 4t^2 + 3t - 1 = 0 $$ Найдем дискриминант и корни: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 $$ $$ t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$ $$ t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 - 5}{8} = -\frac{8}{8} = -1 $$ Выполним обратную замену: 1) $\log_4 x = \frac{1}{4} \implies x = 4^{\frac{1}{4}} = \left(2^2\right)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$; 2) $\log_4 x = -1 \implies x = 4^{-1} \implies x = 0{,}25$. Оба корня удовлетворяют условию $x > 0$. Ответ: $0{,}25; \sqrt{2}$. --- 3) $\log_3^2 x + 5 \log_9 x - 1{,}5 = 0$ ОДЗ: $x > 0$. Преобразуем логарифм: $$ \log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x $$ Подставим в уравнение: $$ \log_3^2 x + 5 \cdot \frac{1}{2} \log_3 x - 1{,}5 = 0 $$ $$ \log_3^2 x + 2{,}5 \log_3 x - 1{,}5 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на 2: $$ 2 \log_3^2 x + 5 \log_3 x - 3 = 0 $$ Введем замену: пусть $t = \log_3 x$. $$ 2t^2 + 5t - 3 = 0 $$ $$ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 $$ $$ t_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ $$ t_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 $$ Выполним обратную замену: 1) $\log_3 x = \frac{1}{2} \implies x = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$; 2) $\log_3 x = -3 \implies x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$. Оба значения входят в ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $\frac{1}{27}; \sqrt{3}$. --- 4) $\log_3^2 x - 15 \log_{27} x + 6 = 0$ ОДЗ: $x > 0$. Преобразуем логарифм: $$ \log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3} \log_3 x $$ Подставим в исходное уравнение: $$ \log_3^2 x - 15 \cdot \frac{1}{3} \log_3 x + 6 = 0 $$ $$ \log_3^2 x - 5 \log_3 x + 6 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$. $$ t^2 - 5t + 6 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$. Выполним обратную замену: 1) $\log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$; 2) $\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$. Оба корня удовлетворяют условию $x > 0$. Ответ: $9; 27$.