ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 225

### 1) $3^{2x+6} = 2^{x+3}$ *(Примечание: в условии опечатка распознавания текста, в учебнике показатель степени равен $2x+6$)* Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ (3^2)^{x+3} = 2^{x+3} $$ $$ 9^{x+3} = 2^{x+3} $$ Разделим обе части уравнения на $2^{x+3} \neq 0$: $$ \frac{9^{x+3}}{2^{x+3}} = 1 $$ $$ \left(\frac{9}{2}\right)^{x+3} = 1 $$ Так как любое ненулевое число в нулевой степени равно $1$, запишем правую часть как $\left(\frac{9}{2}\right)^0$: $$ \left(\frac{9}{2}\right)^{x+3} = \left(\frac{9}{2}\right)^0 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ x + 3 = 0 $$ $$ x = -3 $$ *(Если рассматривать буквальную запись $3^{2x} + 6 = 2^x + 3$, то уравнение $3^{2x} - 2^x + 3 = 0$ не имеет действительных корней, так как при всех $x \in \mathbb{R}$ выражение $3^{2x} + 3 > 3$, тогда как $2^x \le 3$ при всех $x \le \log_2 3 \approx 1{,}585$, а при $x > 0$ выполняется $3^{2x} > 2^x$.)* **Ответ:** $x = -3$ --- ### 2) $5^{x-2} = 4^{2x-4}$ Вынесем общий множитель $2$ в показателе правой части: $$ 5^{x-2} = 4^{2(x-2)} $$ Используя свойство степени, запишем: $$ 5^{x-2} = (4^2)^{x-2} $$ $$ 5^{x-2} = 16^{x-2} $$ Разделим обе части уравнения на $16^{x-2} \neq 0$: $$ \left(\frac{5}{16}\right)^{x-2} = 1 $$ $$ \left(\frac{5}{16}\right)^{x-2} = \left(\frac{5}{16}\right)^0 $$ Приравниваем показатели: $$ x - 2 = 0 $$ $$ x = 2 $$ **Ответ:** $x = 2$ --- ### 3) $2^x \cdot 3^x = 36^{x^2}$ Преобразуем левую часть уравнения по свойству $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$: $$ (2 \cdot 3)^x = 36^{x^2} $$ $$ 6^x = (6^2)^{x^2} $$ $$ 6^x = 6^{2x^2} $$ Так как основания одинаковы и равны $6$ ($6 > 0$, $6 \neq 1$), приравниваем показатели степеней: $$ x = 2x^2 $$ Перенесем все слагаемые в одну часть: $$ 2x^2 - x = 0 $$ Вынесем $x$ за скобки: $$ x(2x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$ x_1 = 0 \quad \text{или} \quad 2x - 1 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ **Ответ:** $x_1 = 0$; $x_2 = 0{,}5$ --- ### 4) $9^{-\sqrt{x-1}} = \frac{1}{27}$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 $$ Приведем обе части уравнения к основанию $3$, зная, что $9 = 3^2$, а $\frac{1}{27} = 3^{-3}$: $$ (3^2)^{-\sqrt{x-1}} = 3^{-3} $$ $$ 3^{-2\sqrt{x-1}} = 3^{-3} $$ Приравниваем показатели степеней: $$ -2\sqrt{x-1} = -3 $$ Разделим обе части уравнения на $-2$: $$ \sqrt{x-1} = \frac{3}{2} $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x - 1 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 $$ $$ x - 1 = \frac{9}{4} $$ $$ x = \frac{9}{4} + 1 $$ $$ x = \frac{13}{4} = 3{,}25 $$ Значение $x = 3{,}25$ удовлетворяет ОДЗ ($3{,}25 \ge 1$). **Ответ:** $x = 3{,}25$