ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 221

**1)** Решим показательное уравнение: $$ 2^{|x-2|} = 2^{|x+4|} $$ Так как основания степеней равны и положительны (причем основание не равно $1$), приравниваем показатели: $$ |x-2| = |x+4| $$ Равенство модулей $|a| = |b|$ равносильно совокупности $a = b$ или $a = -b$: 1) $x - 2 = x + 4 \implies -2 = 4$ — решений нет. 2) $x - 2 = -(x + 4)$ $$ x - 2 = -x - 4 $$ $$ 2x = -2 $$ $$ x = -1 $$ Ответ: $x = -1$. --- **2)** Решим показательное уравнение: $$ 1,5^{|5-x|} = 1,5^{|x-1|} $$ Приравниваем показатели: $$ |5-x| = |x-1| $$ Переходим к двум возможным случаям: 1) $5 - x = x - 1$ $$ -2x = -6 $$ $$ x = 3 $$ 2) $5 - x = -(x - 1)$ $$ 5 - x = -x + 1 $$ $$ 5 = 1 \text{ — решений нет.} $$ Ответ: $x = 3$. --- **3)** Решим показательное уравнение: $$ 3^{|x+1|} = 3^{2-|x|} $$ Приравниваем показатели: $$ |x+1| = 2 - |x| $$ Перенесем выражения с модулями в левую часть: $$ |x+1| + |x| = 2 $$ Подмодульные выражения обращаются в ноль в точках $x = -1$ и $x = 0$. Решим уравнение методом интервалов, рассмотрев три случая: 1) При $x < -1$: оба подмодульных выражения отрицательны: $$ -(x+1) - x = 2 $$ $$ -x - 1 - x = 2 $$ $$ -2x = 3 $$ $$ x = -1,5 $$ Значение $x = -1,5$ удовлетворяет условию $x < -1$. 2) При $-1 \le x < 0$: выражение $(x+1) \ge 0$, а $x < 0$: $$ (x+1) - x = 2 $$ $$ 1 = 2 \text{ — неверное числовое равенство, решений нет.} $$ 3) При $x \ge 0$: оба подмодульных выражения неотрицательны: $$ (x+1) + x = 2 $$ $$ 2x + 1 = 2 $$ $$ 2x = 1 $$ $$ x = 0,5 $$ Значение $x = 0,5$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Ответ: $x_1 = -1,5;\; x_2 = 0,5$. --- **4)** Решим показательное уравнение: $$ 3^{|x|} = 3^{|2-x|-1} $$ Приравниваем показатели: $$ |x| = |2-x| - 1 $$ Подмодульные выражения обращаются в ноль в точках $x = 0$ и $x = 2$. Рассмотрим три промежутка: 1) При $x < 0$: тогда $|x| = -x$ и $|2-x| = 2-x$: $$ -x = (2 - x) - 1 $$ $$ -x = 1 - x $$ $$ 0 = 1 \text{ — решений нет.} $$ 2) При $0 \le x < 2$: тогда $|x| = x$ и $|2-x| = 2-x$: $$ x = (2 - x) - 1 $$ $$ x = 1 - x $$ $$ 2x = 1 $$ $$ x = 0,5 $$ Значение $x = 0,5$ принадлежит промежутку $[0; 2)$. 3) При $x \ge 2$: тогда $|x| = x$ и $|2-x| = -(2-x) = x - 2$: $$ x = (x - 2) - 1 $$ $$ x = x - 3 $$ $$ 0 = -3 \text{ — решений нет.} $$ Ответ: $x = 0,5$.