ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 22

**1)** Дано: $q = \frac{1}{2}$, $b_5 = \frac{\sqrt{2}}{16}$. Используем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ при $n = 5$: $$ b_5 = b_1 \cdot q^4 $$ Подставим известные значения: $$ \frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 $$ $$ \frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot \frac{1}{16} $$ $$ b_1 = \sqrt{2} $$ Так как $|q| = \left|\frac{1}{2}\right| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Её сумма находится по формуле: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} $$ Вычислим сумму: $$ S = \frac{\sqrt{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2} $$ **2)** Дано: $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $b_4 = \frac{9}{8}$. Используем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии при $n = 4$: $$ b_4 = b_1 \cdot q^3 $$ Подставим известные значения: $$ \frac{9}{8} = b_1 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 $$ $$ \frac{9}{8} = b_1 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} $$ Выразим $b_1$: $$ b_1 = \frac{9}{8} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$ Так как $|q| = \left|\frac{\sqrt{3}}{2}\right| = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Найдём её сумму: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} $$ Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение $(2 + \sqrt{3})$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $$ S = \frac{2\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{3} + 2 \cdot 3}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4\sqrt{3} + 6}{4 - 3} = 4\sqrt{3} + 6 $$ Ответ: 1) $2\sqrt{2}$; 2) $4\sqrt{3} + 6$.