ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 20

**1)** $0,(5)$ Пусть $x = 0,(5) = 0,555\dots$ Так как в периоде одна цифра, умножим обе части равенства на $10$: $$ 10x = 5,555\dots = 5,(5) $$ Вычтем исходное уравнение из полученного: $$ 10x - x = 5,(5) - 0,(5) $$ $$ 9x = 5 $$ $$ x = \frac{5}{9} $$ Таким образом, $0,(5) = \frac{5}{9}$. **2)** $0,(8)$ Пусть $x = 0,(8) = 0,888\dots$ Умножим обе части равенства на $10$: $$ 10x = 8,888\dots = 8,(8) $$ Вычтем исходное уравнение из полученного: $$ 10x - x = 8,(8) - 0,(8) $$ $$ 9x = 8 $$ $$ x = \frac{8}{9} $$ Таким образом, $0,(8) = \frac{8}{9}$. **3)** $0,(32)$ Пусть $x = 0,(32) = 0,323232\dots$ Так как в периоде две цифры, умножим обе части равенства на $100$: $$ 100x = 32,323232\dots = 32,(32) $$ Вычтем исходное уравнение из полученного: $$ 100x - x = 32,(32) - 0,(32) $$ $$ 99x = 32 $$ $$ x = \frac{32}{99} $$ Таким образом, $0,(32) = \frac{32}{99}$. **4)** $0,2(5)$ Пусть $x = 0,2(5) = 0,2555\dots$ Умножим обе части равенства на $10$, чтобы перенести запятую к началу периода: $$ 10x = 2,555\dots = 2,(5) $$ Умножим обе части на $100$, чтобы сдвинуть период на одну позицию: $$ 100x = 25,555\dots = 25,(5) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 100x - 10x = 25,(5) - 2,(5) $$ $$ 90x = 23 $$ $$ x = \frac{23}{90} $$ Таким образом, $0,2(5) = \frac{23}{90}$. **Ответ:** 1) $\frac{5}{9}$; 2) $\frac{8}{9}$; 3) $\frac{32}{99}$; 4) $\frac{23}{90}$.