ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1596

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$x \ge 0$$ Введём замену переменной. Заметим, что оба выражения под знаками модуля содержат комбинацию $x - 2\sqrt{x}$. Пусть $t = x - 2\sqrt{x}$. Тогда: $$2\sqrt{x} + 1 - x = -(x - 2\sqrt{x}) + 1 = 1 - t$$ $$x - 2\sqrt{x} + 2 = t + 2$$ Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем: $$|1 - t| = |-(t - 1)| = |t - 1|$$ Исходное уравнение принимает вид: $$|t - 1| + |t + 2| = 7$$ Решим полученное уравнение методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $t = 1$ и $t = -2$. 1) При $t < -2$: $$-(t - 1) - (t + 2) = 7$$ $$1 - t - t - 2 = 7$$ $$-2t - 1 = 7$$ $$-2t = 8$$ $$t = -4$$ Значение $t = -4$ удовлетворяет условию $t < -2$. 2) При $-2 \le t \le 1$: $$-(t - 1) + (t + 2) = 7$$ $$1 - t + t + 2 = 7$$ $$3 = 7$$ Равенство неверно, на этом промежутке корней нет. 3) При $t > 1$: $$(t - 1) + (t + 2) = 7$$ $$2t + 1 = 7$$ $$2t = 6$$ $$t = 3$$ Значение $t = 3$ удовлетворяет условию $t > 1$. Таким образом, $t = -4$ или $t = 3$. Вернёмся к замене: 1) $x - 2\sqrt{x} = -4$ Пусть $u = \sqrt{x}$, где $u \ge 0$. Тогда уравнение принимает вид: $$u^2 - 2u + 4 = 0$$ Дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$$ Уравнение не имеет действительных корней. 2) $x - 2\sqrt{x} = 3$ Пусть $u = \sqrt{x}$, где $u \ge 0$. Тогда: $$u^2 - 2u - 3 = 0$$ По теореме Виета: $$u_1 = 3, \quad u_2 = -1$$ Так как $u \ge 0$, значение $u_2 = -1$ не удовлетворяет условию. Остаётся корень $u = 3$. Возвращаемся к переменной $x$: $$\sqrt{x} = 3$$ $$x = 9$$ Значение $x = 9$ входит в ОДЗ ($9 \ge 0$). Ответ: $9$.