ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1594

1. Найдем площадь данной фигуры. По формуле площади криволинейной трапеции: $$ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} - (-\cos 0) = 0 - (-1) = 1 $$ 2. Прямая, проходящая через точку $(0; 0)$, имеет уравнение $y = kx$, где $k = \operatorname{tg}\varphi$ — угловой коэффициент, а $\varphi$ — угол наклона прямой к оси $Ox$. По условию прямая должна делить исходную фигуру на две части равной площади, то есть площадь каждой из частей должна быть равна: $$ S_1 = \frac{S}{2} = \frac{1}{2} $$ 3. Функция $y = \sin x$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ является выпуклой вверх, при этом $\sin 0 = 0$ и $\sin \frac{\pi}{2} = 1$. Отрезок, соединяющий точки $(0; 0)$ и $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$, лежит на прямой $y = \frac{2}{\pi}x$. Площадь треугольника под этой секущей равна: $$ S_{\text{секущей}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785 > \frac{1}{2} $$ Так как требуемая площадь нижней фигуры равна $\frac{1}{2}$, искомая прямая должна проходить ниже секущей $y = \frac{2}{\pi}x$. Следовательно, прямая $y = kx$ при $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ лежит строго ниже графика $y = \sin x$ и пересекает границу фигуры на вертикальной прямой $x = \frac{\pi}{2}$. 4. Таким образом, фигура, лежащая под прямой $y = kx$, представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами $(0; 0)$, $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$ и $\left(\frac{\pi}{2}; y_0\right)$, где: $$ y_0 = k \cdot \frac{\pi}{2} $$ Площадь этого прямоугольного треугольника равна: $$ S_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot y_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \left(k \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^2}{8} k $$ 5. Приравняем полученную площадь к $\frac{1}{2}$: $$ \frac{\pi^2}{8} k = \frac{1}{2} $$ $$ k = \frac{4}{\pi^2} $$ Так как $k = \operatorname{tg}\varphi$, угол наклона прямой к оси $Ox$ равен: $$ \varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{4}{\pi^2}\right) $$ Ответ: $\operatorname{arctg}\left(\frac{4}{\pi^2}\right)$.