ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1551

**1)** Дана функция: $$ y = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x + 1} $$ Найдем асимптоты графика данной функции. 1. **Вертикальные асимптоты** Область определения функции: знаменатель не равен нулю, то есть $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Значит, $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Исследуем поведение функции в окрестности точки $x = -1$: При $x \to -1$ числитель стремится к $3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6 \neq 0$, а знаменатель стремится к нулю. Следовательно: $$ \lim_{x \to -1} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x + 1} = \infty $$ Таким образом, прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой. 2. **Наклонные асимптоты** Уравнение наклонной асимптоты имеет вид $y = kx + b$. Выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель «уголком» или выполнив тождественные преобразования: $$ 3x^2 - 2x + 1 = 3x(x + 1) - 5x + 1 = 3x(x + 1) - 5(x + 1) + 6 = (3x - 5)(x + 1) + 6 $$ Тогда функцию можно записать в виде: $$ y = 3x - 5 + \frac{6}{x + 1} $$ Так как при $x \to \infty$ дробь $\frac{6}{x + 1} \to 0$, то: $$ \lim_{x \to \infty} (y - (3x - 5)) = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{x + 1} = 0 $$ Следовательно, прямая $y = 3x - 5$ является наклонной асимптотой графика функции при $x \to \infty$. **Ответ к пункту 1:** вертикальная асимптота: $x = -1$; наклонная асимптота: $y = 3x - 5$. --- **2)** Дана функция: $$ y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{2x + 1} $$ Найдем асимптоты графика данной функции. 1. **Вертикальные асимптоты** Область определения функции: $2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}$. Значит, $D(y) = \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}; +\infty\right)$. Исследуем поведение функции в окрестности точки $x = -\frac{1}{2}$: При $x \to -\frac{1}{2}$ числитель стремится к: $$ 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 = 3 \neq 0 $$ Знаменатель стремится к нулю, следовательно: $$ \lim_{x \to -\frac{1}{2}} \frac{2x^2 - 3x + 1}{2x + 1} = \infty $$ Таким образом, прямая $x = -\frac{1}{2}$ (или $x = -0{,}5$) является вертикальной асимптотой. 2. **Наклонные асимптоты** Уравнение наклонной асимптоты имеет вид $y = kx + b$. Выделим целую часть дроби: $$ 2x^2 - 3x + 1 = x(2x + 1) - 4x + 1 = x(2x + 1) - 2(2x + 1) + 3 = (x - 2)(2x + 1) + 3 $$ Запишем функцию в виде: $$ y = x - 2 + \frac{3}{2x + 1} $$ Так как при $x \to \infty$ величина $\frac{3}{2x + 1} \to 0$, то: $$ \lim_{x \to \infty} (y - (x - 2)) = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{2x + 1} = 0 $$ Следовательно, прямая $y = x - 2$ является наклонной асимптотой графика функции при $x \to \infty$. **Ответ к пункту 2:** вертикальная асимптота: $x = -\frac{1}{2}$; наклонная асимптота: $y = x - 2$.