ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1507

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2 \sin x + \cos 2x$ на отрезке $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$. 1. Найдем производную заданной функции: $$ y' = (2 \sin x + \cos 2x)' = 2 \cos x - 2 \sin 2x $$ Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, разложим выражение на множители: $$ y' = 2 \cos x - 4 \sin x \cos x = 2 \cos x (1 - 2 \sin x) $$ 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $$ 2 \cos x (1 - 2 \sin x) = 0 $$ Отсюда получаем два уравнения: - $\cos x = 0$ - $1 - 2 \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$ Определим корни, принадлежащие отрезку $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$: - из уравнения $\cos x = 0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$ (является правым концом отрезка); - из уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ получаем $x = \frac{\pi}{6} \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$. 3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке $x = \frac{\pi}{6}$: - при $x = 0$: $$ y(0) = 2 \sin 0 + \cos(2 \cdot 0) = 2 \cdot 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 $$ - при $x = \frac{\pi}{6}$: $$ y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin \frac{\pi}{6} + \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos \frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = 1{,}5 $$ - при $x = \frac{\pi}{2}$: $$ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin \frac{\pi}{2} + \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 1 + \cos \pi = 2 - 1 = 1 $$ 4. Сравнивая полученные значения, определяем: $$ y_{\text{наиб}} = y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1{,}5 $$ $$ y_{\text{наим}} = y(0) = y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $$ Ответ: $y_{\text{наиб}} = 1{,}5$; $y_{\text{наим}} = 1$.