ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1504

**1)** $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ 1. Область определения функции: Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$ x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1 $$ Таким образом, $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. 2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного: $$ y' = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)' = \frac{(x^2 + 1)'(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2x(x^2 - 1) - (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} $$ 3. Найдем критические точки: $y' = 0$ при $-4x = 0 \implies x = 0$. Производная не существует при $x = -1$ и $x = 1$ (эти точки не входят в область определения). 4. Определим знаки производной на интервалах области определения: Так как $(x^2 - 1)^2 > 0$ для всех $x \neq \pm 1$, знак производной зависит только от знака числителя $-4x$: - на интервале $(-\infty; -1)$: $-4x > 0 \implies y' > 0$ (функция возрастает); - на интервале $(-1; 0)$: $-4x > 0 \implies y' > 0$ (функция возрастает); - на интервале $(0; 1)$: $-4x < 0 \implies y' < 0$ (функция убывает); - на интервале $(1; +\infty)$: $-4x < 0 \implies y' < 0$ (функция убывает). Точка $x = 0$ входит в область определения функции и является точкой непрерывности, поэтому ее включают в промежутки монотонности. Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0]$; убывает на промежутках $[0; 1)$ и $(1; +\infty)$. --- **2)** $y = \frac{x^2 - 1}{x}$ 1. Область определения функции: Знаменатель дроби не равен нулю, то есть $x \neq 0$. $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 2. Преобразуем функцию почленным делением числителя на знаменатель: $$ y = \frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} = x - \frac{1}{x} $$ Найдем производную: $$ y' = \left(x - \frac{1}{x}\right)' = 1 - \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 1 + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2} $$ 3. Определим знак производной: Для любых $x \neq 0$ числитель $x^2 + 1 > 0$ и знаменатель $x^2 > 0$, следовательно: $$ y' > 0 \quad \text{при всех } x \in D(y) $$ Так как производная функции строго положительна на всей области определения, функция возрастает на каждом из интервалов области определения. Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$; промежутков убывания нет.