ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1497

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x_0; y_0)$. По геометрическому смыслу производной, угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, а также тангенсу угла $\alpha$ наклона касательной к оси абсцисс: $$ k = y'(x_0) = \operatorname{tg} \alpha $$ По условию угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$, следовательно: $$ k = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1 $$ Найдем производную заданной функции: $$ y' = (3x^2 + 7x + 1)' = 6x + 7 $$ Приравняем производную в точке $x_0$ к угловому коэффициенту касательной: $$ 6x_0 + 7 = 1 $$ $$ 6x_0 = 1 - 7 $$ $$ 6x_0 = -6 $$ $$ x_0 = -1 $$ Найдем ординату $y_0$ точки $M$, подставив найденное значение $x_0 = -1$ в уравнение параболы: $$ y_0 = 3 \cdot (-1)^2 + 7 \cdot (-1) + 1 = 3 \cdot 1 - 7 + 1 = -3 $$ Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(-1; -3)$. Ответ: $M(-1; -3)$.