ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1483

**1)** Построить график функции $y = 2^{x - 1} - 3$. 1. **Область определения и область значений:** - Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - Так как $2^{x - 1} > 0$ при любых $x$, область значений: $E(y) = (-3; +\infty)$. 2. **Геометрические преобразования:** График функции $y = 2^{x - 1} - 3$ получается из графика базовой показательной функции $y = 2^x$ с помощью: - сдвига вдоль оси $Ox$ на $1$ единицу вправо; - сдвига вдоль оси $Oy$ на $3$ единицы вниз. 3. **Асимптота:** Прямая $y = -3$ является горизонтальной асимптотой графика (при $x \to -\infty$ значения функции приближаются к $-3$). 4. **Таблица значений для построения:** | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-2{,}5$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $5$ | Вычисления: - при $x = 0$: $y = 2^{0 - 1} - 3 = \frac{1}{2} - 3 = -2{,}5$; - при $x = 1$: $y = 2^{1 - 1} - 3 = 1 - 3 = -2$; - при $x = 2$: $y = 2^{2 - 1} - 3 = 2 - 3 = -1$; - при $x = 3$: $y = 2^{3 - 1} - 3 = 4 - 3 = 1$; - при $x = 4$: $y = 2^{4 - 1} - 3 = 8 - 3 = 5$. 5. **Построение:** - Проводим пунктиром горизонтальную асимптоту $y = -3$. - Отмечаем найденные точки $(0; -2{,}5)$, $(1; -2)$, $(2; -1)$, $(3; 1)$, $(4; 5)$ на координатной плоскости. - Соединяем точки плавной непрерывной возрастающей линией, приближающейся слева к прямой $y = -3$. --- **2)** Построить график функции $y = \log_{2}(x + 2) + 3$. 1. **Область определения и область значений:** - Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ x + 2 > 0 \implies x > -2 $$ Таким образом, $D(y) = (-2; +\infty)$. - Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Геометрические преобразования:** График функции $y = \log_{2}(x + 2) + 3$ получается из графика базовой логарифмической функции $y = \log_{2} x$ с помощью: - сдвига вдоль оси $Ox$ на $2$ единицы влево; - сдвига вдоль оси $Oy$ на $3$ единицы вверх. 3. **Асимптота:** Прямая $x = -2$ является вертикальной асимптотой графика (при $x \to -2$ справа значения $y \to -\infty$). 4. **Таблица значений для построения:** | $x$ | $-1{,}5$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $6$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | Вычисления: - при $x = -1{,}5$: $y = \log_{2}(-1{,}5 + 2) + 3 = \log_{2}\left(\frac{1}{2}\right) + 3 = -1 + 3 = 2$; - при $x = -1$: $y = \log_{2}(-1 + 2) + 3 = \log_{2} 1 + 3 = 0 + 3 = 3$; - при $x = 0$: $y = \log_{2}(0 + 2) + 3 = \log_{2} 2 + 3 = 1 + 3 = 4$; - при $x = 2$: $y = \log_{2}(2 + 2) + 3 = \log_{2} 4 + 3 = 2 + 3 = 5$; - при $x = 6$: $y = \log_{2}(6 + 2) + 3 = \log_{2} 8 + 3 = 3 + 3 = 6$. 5. **Построение:** - Проводим пунктиром вертикальную асимптоту $x = -2$. - Отмечаем на координатной плоскости точки $(-1{,}5; 2)$, $(-1; 3)$, $(0; 4)$, $(2; 5)$, $(6; 6)$. - Соединяем точки плавной монотонно возрастающей кривой, уходящей вниз вдоль прямой $x = -2$.