ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1481

**1. Построение графика функции $y = \frac{5}{x - 2}$** * Область определения функции: $$ x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 $$ То есть $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. * Графиком функции является гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{5}{x}$ вдоль оси абсцисс на $2$ единицы вправо. * Асимптоты графика: * вертикальная асимптота: прямая $x = 2$; * горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (ось $Ox$). * Составим таблицу значений для построения ветвей гиперболы: Для ветви при $x < 2$: * при $x = -3$: $y = \frac{5}{-3 - 2} = -1$; * при $x = 0$: $y = \frac{5}{0 - 2} = -2,5$; * при $x = 1$: $y = \frac{5}{1 - 2} = -5$. Для ветви при $x > 2$: * при $x = 3$: $y = \frac{5}{3 - 2} = 5$; * при $x = 4$: $y = \frac{5}{4 - 2} = 2,5$; * при $x = 7$: $y = \frac{5}{7 - 2} = 1$. По нанесённым точкам и асимптотам $x = 2$, $y = 0$ строим две ветви гиперболы. --- **2. Доказательство того, что функция убывает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$** Функция $y = f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Пусть $x_1 < x_2$. Рассмотрим разность $f(x_1) - f(x_2)$: $$ f(x_1) - f(x_2) = \frac{5}{x_1 - 2} - \frac{5}{x_2 - 2} = \frac{5(x_2 - 2) - 5(x_1 - 2)}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)} = \frac{5(x_2 - x_1)}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)} $$ Так как по условию $x_1 < x_2$, разность $x_2 - x_1 > 0$, откуда числитель $5(x_2 - x_1) > 0$. 1) На промежутке $(-\infty; 2)$ оба значения меньше $2$: $x_1 < 2 \implies x_1 - 2 < 0$; $x_2 < 2 \implies x_2 - 2 < 0$. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $$ (x_1 - 2)(x_2 - 2) > 0 $$ Так как числитель и знаменатель дроби положительны, получаем: $$ f(x_1) - f(x_2) > 0 \implies f(x_1) > f(x_2) $$ Следовательно, функция $y = \frac{5}{x - 2}$ убывает на промежутке $(-\infty; 2)$. 2) На промежутке $(2; +\infty)$ оба значения больше $2$: $x_1 > 2 \implies x_1 - 2 > 0$; $x_2 > 2 \implies x_2 - 2 > 0$. Произведение двух положительных чисел положительно: $$ (x_1 - 2)(x_2 - 2) > 0 $$ Следовательно: $$ f(x_1) - f(x_2) > 0 \implies f(x_1) > f(x_2) $$ Значит, функция $y = \frac{5}{x - 2}$ убывает на промежутке $(2; +\infty)$. Утверждение доказано. --- **3. Нахождение точки пересечения графика с осью ординат** Ось ординат задаётся уравнением $x = 0$. Подставим $x = 0$ в формулу функции: $$ y = \frac{5}{0 - 2} = -\frac{5}{2} = -2,5 $$ Таким образом, график пересекает ось ординат в точке с координатами $(0; -2,5)$. --- **Ответ:** график функции пересекает ось ординат в точке $(0; -2,5)$.