ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1440

Пусть $x$ — первое число, $y$ — второе число, $z$ — третье число. По условию задачи составим систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y = z \\ x + y = 5z \end{cases} $$ Подставим выражение $x + y = 5z$ из третьего уравнения в первое уравнение системы: $$ 5z + z = 1 $$ $$ 6z = 1 $$ $$ z = \frac{1}{6} $$ Теперь подставим найденное значение $z = \frac{1}{6}$ во второе и третье уравнения: $$ \begin{cases} x - y = \frac{1}{6} \\ x + y = 5 \cdot \frac{1}{6} \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x - y = \frac{1}{6} \\ x + y = \frac{5}{6} \end{cases} $$ Сложим почленно оба уравнения системы: $$ (x - y) + (x + y) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} $$ $$ 2x = 1 $$ $$ x = \frac{1}{2} $$ Вычтем почленно первое уравнение из второго: $$ (x + y) - (x - y) = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} $$ $$ 2y = \frac{4}{6} $$ $$ 2y = \frac{2}{3} $$ $$ y = \frac{1}{3} $$ Проверка: 1) Сумма трёх чисел: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ — верно. 2) Разность первого и второго: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} = z$ — верно. 3) Сумма первых двух чисел: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} = 5 \cdot \frac{1}{6}$ — верно. Ответ: $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{6}$.