ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1426

### 1 $$ \begin{cases} 2^{x + y} = 32, \\ 3^{3y - x} = 27 \end{cases} $$ Представим правые части уравнений в виде степеней с основаниями $2$ и $3$: $32 = 2^5$, а $27 = 3^3$. $$ \begin{cases} 2^{x + y} = 2^5, \\ 3^{3y - x} = 3^3 \end{cases} $$ Так как основания степеней равны, приравняем показатели: $$ \begin{cases} x + y = 5, \\ 3y - x = 3 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения системы: $$ (x + y) + (3y - x) = 5 + 3 $$ $$ 4y = 8 \implies y = 2 $$ Подставим найденное значение $y = 2$ в первое уравнение: $$ x + 2 = 5 \implies x = 3 $$ **Ответ:** $(3; 2)$. --- ### 2 $$ \begin{cases} 3^x - 2^{2y} = 77, \\ 3^{\frac{x}{2}} - 2^y = 7 \end{cases} $$ Заметим, что $3^x = \left(3^{\frac{x}{2}}\right)^2$, а $2^{2y} = (2^y)^2$. Разложим левую часть первого уравнения по формуле разности квадратов: $$ \left(3^{\frac{x}{2}} - 2^y\right)\left(3^{\frac{x}{2}} + 2^y\right) = 77 $$ Подставим значение $3^{\frac{x}{2}} - 2^y = 7$ из второго уравнения: $$ 7 \cdot \left(3^{\frac{x}{2}} + 2^y\right) = 77 $$ $$ 3^{\frac{x}{2}} + 2^y = 11 $$ Получаем систему линейных уравнений относительно $3^{\frac{x}{2}}$ и $2^y$: $$ \begin{cases} 3^{\frac{x}{2}} - 2^y = 7, \\ 3^{\frac{x}{2}} + 2^y = 11 \end{cases} $$ Сложим уравнения почленно: $$ 2 \cdot 3^{\frac{x}{2}} = 18 \implies 3^{\frac{x}{2}} = 9 $$ $$ 3^{\frac{x}{2}} = 3^2 \implies \frac{x}{2} = 2 \implies x = 4 $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 2 \cdot 2^y = 4 \implies 2^y = 2 \implies 2^y = 2^1 \implies y = 1 $$ **Ответ:** $(4; 1)$. --- ### 3 $$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ \log_{\sqrt{2}}(y - x) = 4 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $$ y - x > 0 \implies y > x $$ Преобразуем второе уравнение по определению логарифма: $$ y - x = (\sqrt{2})^4 $$ $$ y - x = \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^4 = 2^2 = 4 $$ Выразим $y$ через $x$: $$ y = x + 4 $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ 3^x \cdot 2^{x + 4} = 576 $$ Используем свойство степени $2^{x + 4} = 2^x \cdot 2^4 = 16 \cdot 2^x$: $$ 3^x \cdot 2^x \cdot 16 = 576 $$ $$ (3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576 $$ $$ 6^x = \frac{576}{16} $$ $$ 6^x = 36 $$ $$ 6^x = 6^2 \implies x = 2 $$ Найдем $y$: $$ y = 2 + 4 = 6 $$ Значения удовлетворяют ОДЗ: $6 - 2 = 4 > 0$. **Ответ:** $(2; 6)$. --- ### 4 $$ \begin{cases} \lg x + \lg y = 4, \\ x^{\lg y} = 1000 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x > 0$, $y > 0$. Прологарифмируем обе части второго уравнения по основанию 10: $$ \lg\left(x^{\lg y}\right) = \lg 1000 $$ По свойству логарифма степени $\lg(a^b) = b \lg a$, а $\lg 1000 = 3$: $$ \lg y \cdot \lg x = 3 $$ Преобразуем первое уравнение системы, записав его через $\lg x$ и $\lg y$: $$ \begin{cases} \lg x + \lg y = 4, \\ \lg x \cdot \lg y = 3 \end{cases} $$ Введем замену переменных: пусть $u = \lg x$, $v = \lg y$. Тогда: $$ \begin{cases} u + v = 4, \\ u \cdot v = 3 \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 4t + 3 = 0 $$ $$ (t - 1)(t - 3) = 0 \implies t_1 = 1, \quad t_2 = 3 $$ Получаем два возможных случая: 1) $\begin{cases} u = 1, \\ v = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} \lg x = 1, \\ \lg y = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 10^1 = 10, \\ y = 10^3 = 1000 \end{cases}$ 2) $\begin{cases} u = 3, \\ v = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \lg x = 3, \\ \lg y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 10^3 = 1000, \\ y = 10^1 = 10 \end{cases}$ Обе пары удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$, $y > 0$). **Ответ:** $(10; 1000)$, $(1000; 10)$.