ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1423

**1)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y + 5 = x^2, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases} $$ Подставим выражение $x^2 = y + 5$ из первого уравнения во второе уравнение системы: $$ (y + 5) + y^2 = 25 $$ Приведем полученное уравнение к стандартному квадратному виду: $$ y^2 + y + 5 - 25 = 0 $$ $$ y^2 + y - 20 = 0 $$ Найдем корни уравнения с помощью теоремы Виета: $$ \begin{cases} y_1 + y_2 = -1, \\ y_1 \cdot y_2 = -20; \end{cases} \implies y_1 = 4, \quad y_2 = -5. $$ Найдем соответствующие значения переменной $x$ для каждого значения $y$: 1. Если $y = 4$, то: $$ x^2 = 4 + 5 = 9 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -3. $$ Получаем решения: $(3; 4)$ и $(-3; 4)$. 2. Если $y = -5$, то: $$ x^2 = -5 + 5 = 0 \implies x_3 = 0. $$ Получаем решение: $(0; -5)$. **Ответ:** $(3; 4)$, $(-3; 4)$, $(0; -5)$. --- **2)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} xy = 16, \\ \dfrac{x}{y} = 4. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $y \neq 0$. Из второго уравнения выразим переменную $x$: $$ x = 4y $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение системы: $$ 4y \cdot y = 16 $$ $$ 4y^2 = 16 $$ $$ y^2 = 4 \implies y_1 = 2, \quad y_2 = -2. $$ Оба значения удовлетворяют условию $y \neq 0$. Найдем соответствующие значения $x$: 1. Если $y = 2$, то: $$ x = 4 \cdot 2 = 8. $$ 2. Если $y = -2$, то: $$ x = 4 \cdot (-2) = -8. $$ **Ответ:** $(8; 2)$, $(-8; -2)$. --- **3)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 96, \\ x = 2y. \end{cases} $$ Подставим выражение $x = 2y$ из второго уравнения в первое уравнение: $$ (2y)^2 + 2y^2 = 96 $$ $$ 4y^2 + 2y^2 = 96 $$ $$ 6y^2 = 96 $$ $$ y^2 = 16 \implies y_1 = 4, \quad y_2 = -4. $$ Найдем соответствующие значения $x$: 1. Если $y = 4$, то: $$ x = 2 \cdot 4 = 8. $$ 2. Если $y = -4$, то: $$ x = 2 \cdot (-4) = -8. $$ **Ответ:** $(8; 4)$, $(-8; -4)$.