ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 142

### Итоговый ответ 1) $x = 0$ 2) Нет решений (корней нет) 3) $x_1 = 5, \; x_2 = 6$ 4) $x = 4$ --- ### Подробное решение #### 1) $\frac{x}{x+1} + \frac{2x}{x-1} = \frac{4x}{x^2 - 1}$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $$\begin{cases} x + 1 \neq 0 \\ x - 1 \neq 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases} \iff x \neq \pm 1$$ 2. **Приведение к общему знаменателю:** Так как $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+1)(x-1) \neq 0$: $$x(x - 1) + 2x(x + 1) = 4x$$ 3. **Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых:** $$x^2 - x + 2x^2 + 2x = 4x$$ $$3x^2 + x - 4x = 0$$ $$3x^2 - 3x = 0$$ $$3x(x - 1) = 0$$ 4. **Нахождение корней:** $$3x = 0 \implies x = 0$$ $$x - 1 = 0 \implies x = 1$$ 5. **Проверка по ОДЗ:** * $x = 0$ входит в ОДЗ. * $x = 1$ не входит в ОДЗ (обращает знаменатели в ноль) — посторонний корень. **Ответ:** $x = 0$ --- #### 2) $\frac{x-1}{x-2} - \frac{2}{x} = \frac{1}{x-2}$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** $$\begin{cases} x - 2 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \iff x \neq 2, \; x \neq 0$$ 2. **Преобразование уравнения:** Сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем: $$\frac{x-1}{x-2} - \frac{1}{x-2} = \frac{2}{x}$$ $$\frac{x - 1 - 1}{x - 2} = \frac{2}{x}$$ $$\frac{x - 2}{x - 2} = \frac{2}{x}$$ 3. Так как $x \neq 2$, дробь $\frac{x-2}{x-2}$ равна $1$: $$1 = \frac{2}{x}$$ $$x = 2$$ 4. **Проверка по ОДЗ:** Значение $x = 2$ не входит в ОДЗ, так как при $x = 2$ знаменатель исходного уравнения равен нулю. Значит, найденный корень является посторонним. **Ответ:** решений нет --- #### 3) $(x-3)(x-5) = 3(x-5)$ 1. **ОДЗ:** $x \in \mathbb{R}$ (ограничений нет). 2. **Перенос всех слагаемых в левую часть:** $$(x - 3)(x - 5) - 3(x - 5) = 0$$ 3. **Вынесение общего множителя $(x - 5)$ за скобки:** $$(x - 5)\bigl((x - 3) - 3\bigr) = 0$$ $$(x - 5)(x - 6) = 0$$ 4. **Нахождение корней:** Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$x - 5 = 0 \implies x = 5$$ $$x - 6 = 0 \implies x = 6$$ **Ответ:** $x_1 = 5, \; x_2 = 6$ --- #### 4) $(x-2)(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1)$ 1. **ОДЗ:** $x \in \mathbb{R}$ (ограничений нет). 2. **Перенос всех слагаемых в левую часть:** $$(x - 2)(x^2 + 1) - 2(x^2 + 1) = 0$$ 3. **Вынесение общего множителя $(x^2 + 1)$ за скобки:** $$(x^2 + 1)\bigl((x - 2) - 2\bigr) = 0$$ $$(x^2 + 1)(x - 4) = 0$$ 4. **Нахождение корней:** * Множитель $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ при любых действительных значениях $x$, следовательно, он не может быть равен нулю ($x^2 + 1 \neq 0$). * Приравниваем к нулю второй множитель: $$x - 4 = 0 \implies x = 4$$ **Ответ:** $x = 4$