ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1408

**1)** $\log_6 (2 - x) < \log_6 (2x + 5)$ Так как основание логарифма $6 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства при переходе к подлогарифмическим выражениям сохраняется. Учитывая область допустимых значений (подлогарифмические выражения должны быть строго положительными), получаем равносильную систему неравенств: $$ \begin{cases} 2 - x < 2x + 5, \\ 2 - x > 0, \\ 2x + 5 > 0. \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: 1) $2 - x < 2x + 5 \implies -3x < 3 \implies x > -1$; 2) $2 - x > 0 \implies x < 2$; 3) $2x + 5 > 0 \implies 2x > -5 \implies x > -2{,}5$. Найдём пересечение решений: $$ \begin{cases} x > -1, \\ x < 2, \\ x > -2{,}5 \end{cases} \implies -1 < x < 2. $$ Ответ: $x \in (-1; 2)$. --- **2)** $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2) \geqslant -1$ Представим число $-1$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$: $-1 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3$. Исходное неравенство принимает вид: $$ \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2) \geqslant \log_{\frac{1}{3}} 3 $$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный, при этом аргумент логарифма должен быть строго положительным: $$ \begin{cases} x^2 - 2 \leqslant 3, \\ x^2 - 2 > 0. \end{cases} $$ Решим систему неравенств: 1) $x^2 - 2 \leqslant 3 \implies x^2 - 5 \leqslant 0 \implies (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) \leqslant 0 \implies -\sqrt{5} \leqslant x \leqslant \sqrt{5}$; 2) $x^2 - 2 > 0 \implies (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0 \implies x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$. Найдём пересечение полученных промежутков: $$ x \in [-\sqrt{5}; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \sqrt{5}]. $$ Ответ: $x \in [-\sqrt{5}; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \sqrt{5}]$.