ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1406

**1)** Решим неравенство: $$ 3,3^{x^2 + 6x} < 1 $$ Представим правую часть в виде степени с основанием $3,3$: $$ 3,3^{x^2 + 6x} < 3,3^0 $$ Так как основание $3,3 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ x^2 + 6x < 0 $$ Разложим левую часть на множители: $$ x(x + 6) < 0 $$ Корни уравнения $x(x + 6) = 0$ — это $x_1 = -6$ и $x_2 = 0$. По методу интервалов решением неравенства является интервал между корнями: $$ -6 < x < 0 $$ **Ответ:** $x \in (-6; 0)$. --- **2)** Решим неравенство: $$ \left(\frac{1}{4}\right)^{x - x^2} > \frac{1}{2} $$ Приведем обе части к основанию $\frac{1}{2}$, учитывая, что $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$: $$ \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{x - x^2} > \left(\frac{1}{2}\right)^1 $$ $$ \left(\frac{1}{2}\right)^{2x - 2x^2} > \left(\frac{1}{2}\right)^1 $$ Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция убывает, и при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $$ 2x - 2x^2 < 1 $$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$ 2x^2 - 2x + 1 > 0 $$ Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 < 0 $$ Так как старший коэффициент $a = 2 > 0$ и дискриминант $D < 0$, парабола целиком лежит выше оси абсцисс, то есть неравенство выполняется при любых действительных значениях $x$. **Ответ:** $x \in (-\infty; +\infty)$. --- **3)** Решим неравенство: $$ 8,4^{\frac{x-3}{x^2 + 6x + 11}} < 1 $$ Представим $1$ как $8,4^0$: $$ 8,4^{\frac{x-3}{x^2 + 6x + 11}} < 8,4^0 $$ Так как основание $8,4 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ \frac{x - 3}{x^2 + 6x + 11} < 0 $$ Исследуем знаменатель дроби: выделим полный квадрат в квадратном трехчлене $x^2 + 6x + 11$: $$ x^2 + 6x + 11 = (x^2 + 6x + 9) + 2 = (x + 3)^2 + 2 $$ Поскольку $(x + 3)^2 \geqslant 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, то знаменатель строго положителен: $(x + 3)^2 + 2 \geqslant 2 > 0$. Значит, дробь меньше нуля тогда и только тогда, когда числитель меньше нуля: $$ x - 3 < 0 $$ $$ x < 3 $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; 3)$. --- **4)** Решим неравенство: $$ 2^{2x + 1} - 21 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x + 3} + 2 \geqslant 0 $$ Преобразуем степени с основанием $2$: $2^{2x + 1} = 2 \cdot 2^{2x}$; $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x + 3} = 2^{-(2x + 3)} = 2^{-3} \cdot 2^{-2x} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2^{2x}}$. Подставим полученные выражения в неравенство: $$ 2 \cdot 2^{2x} - \frac{21}{8 \cdot 2^{2x}} + 2 \geqslant 0 $$ Пусть $t = 2^{2x}$, где $t > 0$. Неравенство принимает вид: $$ 2t - \frac{21}{8t} + 2 \geqslant 0 $$ Умножим обе части неравенства на $8t > 0$: $$ 16t^2 + 16t - 21 \geqslant 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения $16t^2 + 16t - 21 = 0$: $$ D = 16^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-21) = 256 + 1344 = 1600 = 40^2 $$ $$ t_1 = \frac{-16 - 40}{32} = -\frac{56}{32} = -\frac{7}{4} $$ $$ t_2 = \frac{-16 + 40}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} $$ Решением неравенства $16t^2 + 16t - 21 \geqslant 0$ является: $$ t \leqslant -\frac{7}{4} \quad \text{или} \quad t \geqslant \frac{3}{4} $$ Учитывая, что $t > 0$, случай $t \leqslant -\frac{7}{4}$ решений не имеет. Остается: $$ t \geqslant \frac{3}{4} $$ Вернемся к замене $t = 2^{2x}$: $$ 2^{2x} \geqslant \frac{3}{4} $$ Прологарифмируем по основанию $2$ (знак неравенства сохраняется, так как $2 > 1$): $$ 2x \geqslant \log_2\left(\frac{3}{4}\right) $$ $$ 2x \geqslant \log_2 3 - \log_2 4 $$ $$ 2x \geqslant \log_2 3 - 2 $$ $$ x \geqslant \frac{\log_2 3 - 2}{2} $$ $$ x \geqslant \frac{1}{2}\log_2 3 - 1 $$ **Ответ:** $x \in \left[\frac{1}{2}\log_2 3 - 1; +\infty\right)$. --- **5)** Решим неравенство: $$ 3^{4 - 3x} - 35\left(\frac{1}{3}\right)^{2 - 3x} + 6 \geqslant 0 $$ Используем свойства степеней: $3^{4 - 3x} = 3^4 \cdot 3^{-3x} = 81 \cdot 3^{-3x}$; $\left(\frac{1}{3}\right)^{2 - 3x} = 3^{-(2 - 3x)} = 3^{3x - 2} = \frac{3^{3x}}{3^2} = \frac{3^{3x}}{9}$. Подставим эти выражения в исходное неравенство: $$ 81 \cdot 3^{-3x} - 35 \cdot \frac{3^{3x}}{9} + 6 \geqslant 0 $$ Сделаем замену переменной $y = 3^{3x}$, где $y > 0$. Тогда $3^{-3x} = \frac{1}{y}$: $$ \frac{81}{y} - \frac{35y}{9} + 6 \geqslant 0 $$ Умножим обе части на $9y > 0$: $$ 729 - 35y^2 + 54y \geqslant 0 $$ $$ 35y^2 - 54y - 729 \leqslant 0 $$ Найдем корни уравнения $35y^2 - 54y - 729 = 0$, используя четверть дискриминанта: $$ \frac{D}{4} = (-27)^2 - 35 \cdot (-729) = 729 + 35 \cdot 729 = 729 \cdot 36 = (27 \cdot 6)^2 = 162^2 $$ $$ y_1 = \frac{27 - 162}{35} = -\frac{135}{35} = -\frac{27}{7} $$ $$ y_2 = \frac{27 + 162}{35} = \frac{189}{35} = \frac{27}{5} $$ Решением квадратного неравенства относительно $y$ является отрезок: $$ -\frac{27}{7} \leqslant y \leqslant \frac{27}{5} $$ Так как $y = 3^{3x} > 0$, неравенство $y \geqslant -\frac{27}{7}$ выполняется автоматически при всех действительных $x$. Получаем: $$ 3^{3x} \leqslant \frac{27}{5} $$ Так как основание $3 > 1$, логарифмируем обе части по основанию $3$ с сохранением знака неравенства: $$ 3x \leqslant \log_3\left(\frac{27}{5}\right) $$ $$ 3x \leqslant \log_3 27 - \log_3 5 $$ $$ 3x \leqslant 3 - \log_3 5 $$ $$ x \leqslant 1 - \frac{1}{3}\log_3 5 $$ **Ответ:** $x \in \left(-\infty; 1 - \frac{1}{3}\log_3 5\right]$.