ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1343

**1)** $$3^{x-7}=81$$ Представим число $81$ в виде степени с основанием $3$: $81 = 3^4$. $$3^{x-7}=3^4$$ Так как основания степеней одинаковы, приравниваем их показатели: $$x - 7 = 4$$ $$x = 4 + 7$$ $$x = 11$$ **Ответ:** $11$. --- **2)** $$2^{x^{2}-5x+6,5}=\sqrt{2}$$ Запишем арифметический квадратный корень в виде степени с основанием $2$: $\sqrt{2} = 2^{0,5}$. $$2^{x^{2}-5x+6,5}=2^{0,5}$$ Приравниваем показатели степеней: $$x^{2} - 5x + 6,5 = 0,5$$ Перенесем $0,5$ в левую часть уравнения: $$x^{2} - 5x + 6 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = 6 \end{cases}$$ Отсюда получаем: $$x_1 = 2, \quad x_2 = 3$$ **Ответ:** $2$; $3$. --- **3)** $$\left(\frac{1}{4}\cdot4^{x}\right)^{x}=2^{2x+6}$$ Преобразуем выражение в скобках в левой части уравнения, используя свойство степеней $\frac{1}{a} = a^{-1}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$\frac{1}{4}\cdot 4^x = 4^{-1}\cdot 4^x = 4^{x-1}$$ Подставим полученное выражение в уравнение: $$\left(4^{x-1}\right)^{x}=2^{2x+6}$$ Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$: $$4^{x(x-1)}=2^{2x+6}$$ $$4^{x^2-x}=2^{2x+6}$$ Приведем обе части к общему основанию $2$, так как $4 = 2^2$: $$\left(2^2\right)^{x^2-x}=2^{2x+6}$$ $$2^{2(x^2-x)}=2^{2x+6}$$ $$2^{2x^2-2x}=2^{2x+6}$$ Приравниваем показатели степеней: $$2x^2 - 2x = 2x + 6$$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: $$2x^2 - 4x - 6 = 0$$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ Найдем корни через дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$$ $$x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ **Ответ:** $-1$; $3$.