ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1342

**1)** $\sqrt{2x + 7} = x + 2$ Так как арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, правая часть уравнения должна удовлетворять условию: $$ x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{2x + 7})^2 = (x + 2)^2 $$ $$ 2x + 7 = x^2 + 4x + 4 $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ x^2 + 4x + 4 - 2x - 7 = 0 $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ Найдём корни по теореме Виета или через дискриминант: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2 $$ $$ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 $$ Проверим найденные значения: * При $x = 1$: условие $x \ge -2$ выполняется. Проверка: $\sqrt{2 \cdot 1 + 7} = \sqrt{9} = 3$ и $1 + 2 = 3$ — верно. * При $x = -3$: условие $x \ge -2$ не выполняется ($-3 < -2$). Проверка: $\sqrt{2 \cdot (-3) + 7} = \sqrt{1} = 1$, но $-3 + 2 = -1$, а $1 \neq -1$ — корень посторонний. Ответ: $1$. --- **2)** $x = 2 - \sqrt{2x - 5}$ Изолируем квадратный корень, перенеся его в левую часть, а $x$ — в правую: $$ \sqrt{2x - 5} = 2 - x $$ По определению арифметического квадратного корня левая часть неотрицательна, значит, и правая часть должна быть неотрицательной: $$ 2 - x \ge 0 \implies x \le 2 $$ Подкоренное выражение также должно быть неотрицательным: $$ 2x - 5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge 2{,}5 $$ Система условий: $$ \begin{cases} x \le 2 \\ x \ge 2{,}5 \end{cases} $$ Данная система не имеет решений, так как не существует действительных чисел, одновременно удовлетворяющих обоим неравенствам. Убедимся в этом, возведя обе части в квадрат: $$ (\sqrt{2x - 5})^2 = (2 - x)^2 $$ $$ 2x - 5 = 4 - 4x + x^2 $$ $$ x^2 - 6x + 9 = 0 $$ $$ (x - 3)^2 = 0 \implies x = 3 $$ Проверим корень $x = 3$ в исходном уравнении: Левая часть: $3$. Правая часть: $2 - \sqrt{2 \cdot 3 - 5} = 2 - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$. Так как $3 \neq 1$, корень $x = 3$ является посторонним. Ответ: решений нет.