ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1335

**1)** Решим квадратное уравнение относительно $x$: $$ x^2 + ax - b^2 + \frac{a^2}{4} = 0 $$ Сгруппируем слагаемые, выделяя полный квадрат: $$ \left(x^2 + ax + \frac{a^2}{4}\right) - b^2 = 0 $$ $$ \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 - b^2 = 0 $$ Применим формулу разности квадратов: $$ \left(x + \frac{a}{2} - b\right)\left(x + \frac{a}{2} + b\right) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $x + \frac{a}{2} - b = 0 \implies x_1 = b - \frac{a}{2} = \frac{2b - a}{2}$; 2) $x + \frac{a}{2} + b = 0 \implies x_2 = -b - \frac{a}{2} = -\frac{2b + a}{2}$. *(Уравнение также можно решить через дискриминант: $D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-b^2 + \frac{a^2}{4}\right) = a^2 + 4b^2 - a^2 = 4b^2 = (2b)^2$, откуда $x = \frac{-a \pm 2b}{2} = -\frac{a}{2} \pm b$.)* Ответ: $x_1 = b - \frac{a}{2}$, $x_2 = -b - \frac{a}{2}$ (или $x = -\frac{a}{2} \pm b$). --- **2)** Решим дробно-рациональное уравнение: $$ \frac{2x}{2x - a} - \frac{x}{2x + a} = \frac{5a^2}{4x^2 - a^2} $$ Заметим, что по формуле разности квадратов $4x^2 - a^2 = (2x - a)(2x + a)$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $$ \begin{cases} 2x - a \neq 0 \\ 2x + a \neq 0 \end{cases} \iff x \neq \pm \frac{a}{2} $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(2x - a)(2x + a) \neq 0$: $$ 2x(2x + a) - x(2x - a) = 5a^2 $$ Раскроем скобки: $$ 4x^2 + 2ax - 2x^2 + ax = 5a^2 $$ Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть: $$ 2x^2 + 3ax - 5a^2 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = (3a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5a^2) = 9a^2 + 40a^2 = 49a^2 = (7a)^2 $$ $$ x_{1,2} = \frac{-3a \pm 7a}{2 \cdot 2} = \frac{-3a \pm 7a}{4} $$ $$ x_1 = \frac{-3a + 7a}{4} = \frac{4a}{4} = a $$ $$ x_2 = \frac{-3a - 7a}{4} = \frac{-10a}{4} = -\frac{5a}{2} $$ Проверим найденные корни по условию ОДЗ ($x \neq \pm \frac{a}{2}$): 1. Если $a = 0$, то ОДЗ принимает вид $x \neq 0$, а найденные корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 0$ обращают знаменатели в ноль, то есть являются посторонними. В этом случае уравнение корней не имеет. 2. Если $a \neq 0$: - $x_1 = a \neq \pm \frac{a}{2}$ (условие выполняется); - $x_2 = -\frac{5a}{2} \neq \pm \frac{a}{2}$ (условие выполняется). Ответ: при $a = 0$ корней нет; при $a \neq 0$: $x_1 = a$, $x_2 = -\frac{5a}{2}$.