ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 130

1) Найдем координаты точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = x^{\frac{3}{5}}$. По определению степени с рациональным показателем функция $y = x^{\frac{3}{5}}$ определена только при неотрицательных значениях аргумента, то есть при $x \ge 0$. Функция $y = \sqrt[5]{x}$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$. Таким образом, общая область определения: $x \ge 0$. Для нахождения точек пересечения приравняем правые части уравнений: $$ \sqrt[5]{x} = x^{\frac{3}{5}} $$ При $x \ge 0$ корень пятой степени можно записать в виде степени: $\sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}}$. Получаем: $$ x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{3}{5}} $$ Возведем обе части уравнения в пятую степень: $$ \left(x^{\frac{1}{5}}\right)^5 = \left(x^{\frac{3}{5}}\right)^5 $$ $$ x = x^3 $$ Перенесем все члены в одну сторону и разложим на множители: $$ x^3 - x = 0 $$ $$ x(x^2 - 1) = 0 $$ $$ x(x - 1)(x + 1) = 0 $$ Отсюда находим корни: $x_1 = 0$; $x_2 = 1$; $x_3 = -1$. Так как должно выполняться условие $x \ge 0$, корень $x_3 = -1$ не входит в область определения функции $y = x^{\frac{3}{5}}$. Вычислим соответствующие значения $y$ для найденных $x$: - если $x = 0$, то $y = \sqrt[5]{0} = 0$; - если $x = 1$, то $y = \sqrt[5]{1} = 1$. Координаты точек пересечения: $(0; 0)$ и $(1; 1)$. 2) Найдем координаты точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[7]{x}$ и $y = x^{\frac{5}{7}}$. Функция $y = x^{\frac{5}{7}}$ определена при $x \ge 0$, а функция $y = \sqrt[7]{x}$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, графики могут пересекаться только при $x \ge 0$. Приравняем правые части уравнений: $$ \sqrt[7]{x} = x^{\frac{5}{7}} $$ При $x \ge 0$ заменим корень степенью: $x^{\frac{1}{7}} = x^{\frac{5}{7}}$. Возведем обе части уравнения в седьмую степень: $$ \left(x^{\frac{1}{7}}\right)^7 = \left(x^{\frac{5}{7}}\right)^7 $$ $$ x = x^5 $$ Перенесем слагаемые в одну сторону и разложим многочлен на множители: $$ x^5 - x = 0 $$ $$ x(x^4 - 1) = 0 $$ $$ x(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0 $$ $$ x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0 $$ Множитель $x^2 + 1 > 0$ при любых действительных $x$, поэтому уравнение имеет три действительных корня: $x_1 = 0$; $x_2 = 1$; $x_3 = -1$. С учетом области определения $x \ge 0$ корень $x_3 = -1$ не подходит. Найдем соответствующие значения $y$: - если $x = 0$, то $y = \sqrt[7]{0} = 0$; - если $x = 1$, то $y = \sqrt[7]{1} = 1$. Координаты точек пересечения: $(0; 0)$ и $(1; 1)$. Ответ: 1) $(0; 0)$, $(1; 1)$; 2) $(0; 0)$, $(1; 1)$.