ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 127

### 1) $y = (x - 2)^7$ **Схематический график:** График получается параллельным переносом графика функции $y = x^7$ вдоль оси абсцисс вправо на $2$ единицы. График проходит через точку перегиба $(2; 0)$, а также через точки $(1; -1)$ и $(3; 1)$. При $x \to +\infty$ ветвь неограниченно уходит вверх, а при $x \to -\infty$ — вниз. * **Область определения:** выражение определено при любых действительных значениях $x$: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ * **Множество значений:** седьмая степень может принимать любые действительные значения: $$ E(y) = (-\infty; +\infty) $$ * **Монотонность:** так как функция $y = x^7$ является возрастающей на всей числовой прямой, то и функция $y = (x - 2)^7$ является **возрастающей** на всей области определения. * **Ограниченность:** функция **не ограничена ни сверху, ни снизу**. --- ### 2) $y = (x + 1)^6$ **Схематический график:** График получается параллельным переносом графика четной степенной функции $y = x^6$ вдоль оси абсцисс влево на $1$ единицу. Вершина параболического типа находится в точке $(-1; 0)$, ветви направлены вверх, график проходит через точки $(0; 1)$ и $(-2; 1)$. * **Область определения:** $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ * **Множество значений:** четная степень числа всегда неотрицательна, то есть $(x + 1)^6 \ge 0$: $$ E(y) = [0; +\infty) $$ * **Монотонность:** на всей области определения функция не является монотонной; она **убывает** на промежутке $(-\infty; -1]$ и **возрастает** на промежутке $[-1; +\infty)$. * **Ограниченность:** функция **ограничена снизу** (числом $0$, так как $y \ge 0$) и **не ограничена сверху**. --- ### 3) $y = (x + 2)^{-2} = \dfrac{1}{(x + 2)^2}$ **Схематический график:** График получается сдвигом графика функции $y = \dfrac{1}{x^2}$ влево вдоль оси $Ox$ на $2$ единицы. Вертикальной асимптотой является прямая $x = -2$, горизонтальной асимптотой — ось $Ox$ ($y = 0$). Обе ветви графика расположены выше оси абсцисс в полуплоскости $y > 0$ и проходят через точки $(-3; 1)$ и $(-1; 1)$. * **Область определения:** знаменатель дроби не должен быть равен нулю ($x + 2 \ne 0 \implies x \ne -2$): $$ D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty) $$ * **Множество значений:** дробь с положительным числителем и положительным знаменателем принимает только строго положительные значения: $$ E(y) = (0; +\infty) $$ * **Монотонность:** на всей области определения функция не является монотонной; она **возрастает** на промежутке $(-\infty; -2)$ и **убывает** на промежутке $(-2; +\infty)$. * **Ограниченность:** функция **ограничена снизу** (числом $0$, так как $y > 0$) и **не ограничена сверху** (при $x \to -2$ значения $y \to +\infty$). --- ### 4) $y = (x - 1)^{-3} = \dfrac{1}{(x - 1)^3}$ **Схематический график:** График функции получается параллельным переносом графика гиперболического типа $y = \dfrac{1}{x^3}$ вправо вдоль оси $Ox$ на $1$ единицу. Вертикальная асимптота — прямая $x = 1$, горизонтальная асимптота — прямая $y = 0$ (ось $Ox$). Ветви графика проходят через точки $(0; -1)$ и $(2; 1)$. * **Область определения:** знаменатель дроби не равен нулю ($x - 1 \ne 0 \implies x \ne 1$): $$ D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $$ * **Множество значений:** функция принимает любые действительные значения, кроме нуля: $$ E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ * **Монотонность:** функция **убывает** на промежутке $(-\infty; 1)$ и **убывает** на промежутке $(1; +\infty)$ (на всей области определения функция монотонной не является из-за разрыва в точке $x = 1$). * **Ограниченность:** функция **не ограничена ни сверху, ни снизу**.