ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1263

1) Даны промежутки $[1; 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}]$ и $[3\sqrt{3} + 4; 15]$. Сравним правый конец первого промежутка и левый конец второго: $$ 3\sqrt{2} = \sqrt{18} > \sqrt{16} = 4 $$ $$ 2\sqrt{7} = \sqrt{28} > \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $$ Сложим эти два верных неравенства: $$ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7} > 3\sqrt{3} + 4 $$ Так как $1 < 3\sqrt{3} + 4 < 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7} < 15$, промежутки пересекаются, и их пересечением является отрезок $[3\sqrt{3} + 4; 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}]$. Имеют ли общие точки: да. --- 2) Даны промежутки $(0; \sqrt{27} + \sqrt{6})$ и $(\sqrt{48} - 1; 10)$. Упростим выражения с корнями: $$ \sqrt{27} + \sqrt{6} = 3\sqrt{3} + \sqrt{6} $$ $$ \sqrt{48} - 1 = 4\sqrt{3} - 1 $$ Сравним правый конец первого промежутка и левый конец второго, рассмотрев их разность: $$ (3\sqrt{3} + \sqrt{6}) - (4\sqrt{3} - 1) = \sqrt{6} - \sqrt{3} + 1 $$ Так как $\sqrt{6} > \sqrt{3}$, то $\sqrt{6} - \sqrt{3} > 0$, а значит: $$ \sqrt{6} - \sqrt{3} + 1 > 0 \implies \sqrt{27} + \sqrt{6} > \sqrt{48} - 1 $$ При этом $0 < \sqrt{48} - 1$ и $\sqrt{27} + \sqrt{6} < 10$. Следовательно, промежутки имеют общую часть — интервал $(\sqrt{48} - 1; \sqrt{27} + \sqrt{6})$. Имеют ли общие точки: да. --- 3) Даны промежутки $[2; 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}]$ и $(3\sqrt{2} + \sqrt{22}; 11)$. Внесём множители под знак корня: $$ 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6} = \sqrt{20} + \sqrt{24} $$ $$ 3\sqrt{2} + \sqrt{22} = \sqrt{18} + \sqrt{22} $$ Сравним соответствующие слагаемые: $$ \sqrt{20} > \sqrt{18} \quad \text{и} \quad \sqrt{24} > \sqrt{22} $$ Сложив почленно данные неравенства, получаем: $$ 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6} > 3\sqrt{2} + \sqrt{22} $$ Так как $2 < 3\sqrt{2} + \sqrt{22} < 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6} < 11$, промежутки имеют общую часть — полуинтервал $(3\sqrt{2} + \sqrt{22}; 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}]$. Имеют ли общие точки: да. --- 4) Даны промежутки $[1; 1 + \sqrt{3}]$ и $\left(\frac{2}{\sqrt{3} - 1}; 4\right)$. Преобразуем левый конец второго промежутка, избавившись от иррациональности в знаменателе: $$ \frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = 1 + \sqrt{3} $$ Таким образом, второй промежуток имеет вид $(1 + \sqrt{3}; 4)$. Правый конец первого промежутка равен $1 + \sqrt{3}$ (входит в промежуток), а второй промежуток содержит только числа, строго большие $1 + \sqrt{3}$. Следовательно, общих точек у данных промежутков нет. Имеют ли общие точки: нет.