ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1170

События $A$ и $B$ называются независимыми, если выполняется равенство: $$ P(AB) = P(A) \cdot P(B) $$ Событие $AB$ означает, что названное число делится одновременно на 4 и на 5, то есть кратно 20 (так как $\text{НОК}(4, 5) = 20$). **1) Называется одно из первых девятнадцати натуральных чисел: $\{1, 2, 3, \ldots, 19\}$.** Всего возможных исходов: $n = 19$. * Событию $A$ (число кратно 4) благоприятствуют исходы: $4, 8, 12, 16$ (всего 4 исхода). Вероятность события $A$: $$ P(A) = \frac{4}{19} $$ * Событию $B$ (число кратно 5) благоприятствуют исходы: $5, 10, 15$ (всего 3 исхода). Вероятность события $B$: $$ P(B) = \frac{3}{19} $$ * Событию $AB$ (число кратно 20) среди первых 19 чисел не благоприятствует ни один исход (0 исходов). Вероятность события $AB$: $$ P(AB) = \frac{0}{19} = 0 $$ Вычислим произведение вероятностей: $$ P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{19} \cdot \frac{3}{19} = \frac{12}{361} $$ Так как $P(AB) \neq P(A) \cdot P(B)$ ($0 \neq \frac{12}{361}$), события $A$ и $B$ не являются независимыми (являются зависимыми). **2) Называется одно из первых двадцати натуральных чисел: $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$.** Всего возможных исходов: $n = 20$. * Событию $A$ (число кратно 4) благоприятствуют исходы: $4, 8, 12, 16, 20$ (всего 5 исходов). Вероятность события $A$: $$ P(A) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $$ * Событию $B$ (число кратно 5) благоприятствуют исходы: $5, 10, 15, 20$ (всего 4 исхода). Вероятность события $B$: $$ P(B) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $$ * Событию $AB$ (число кратно 20) благоприятствует исход: $20$ (1 исход). Вероятность события $AB$: $$ P(AB) = \frac{1}{20} $$ Вычислим произведение вероятностей: $$ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{20} $$ Так как $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$ ($\frac{1}{20} = \frac{1}{20}$), события $A$ и $B$ являются независимыми. **Ответ:** 1) не являются независимыми; 2) являются независимыми.