ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 115

### 1) Упростим выражение: $$ \left( \frac{a^{\frac{4}{3}} b + ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}} \right)^3 $$ 1. В числителе первой дроби вынесем общий множитель $ab$: $$ a^{\frac{4}{3}} b + ab^{\frac{4}{3}} = ab \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) $$ 2. Подставим полученное выражение в первую дробь и сократим её на $\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)$: $$ \frac{ab \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = ab $$ 3. Выполним умножение внутри скобок, используя свойства степеней: $$ ab \cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}} = \frac{ab}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}} = a^{1 - \frac{1}{3}} b^{1 - \frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}} $$ 4. Возведём полученный результат в третью степень: $$ \left(a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}}\right)^3 = a^{\frac{2}{3} \cdot 3} b^{\frac{2}{3} \cdot 3} = a^2 b^2 $$ **Ответ:** $a^2 b^2$ --- ### 2) Упростим выражение: $$ \frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{ab}} \cdot \frac{ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} $$ 1. Запишем корни в виде степеней с дробным показателем: $\sqrt[3]{ab} = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}$, $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$, $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$. 2. В числителе второй дроби вынесем общий множитель $a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}$: $$ ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} b = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} \left(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\right) $$ 3. Разложим выражение $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$ по формуле разности квадратов: $$ a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 - \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^2 = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) $$ 4. Подставим преобразованные выражения и выполним умножение дробей: $$ \frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $$ 5. Сократим дробь на общие множители $a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}$ и $\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)$: $$ \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)^2 $$ По формуле квадрата разности: $$ \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} - 2\sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}} $$ **Ответ:** $\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)^2$ (или $a^{\frac{2}{3}} - 2\sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}$) --- ### 3) Упростим выражение: $$ \frac{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}}{a - b} $$ 1. Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов: $$ a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) $$ Тогда первая дробь примет вид: $$ \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} $$ 2. Знаменатель второй дроби представим как разность кубов, учитывая, что $a = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3$ и $b = \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3$: $$ a - b = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}\right) $$ 3. Перемножим дроби: $$ \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}}{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}\right)} $$ 4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $$ 1 $$ **Ответ:** $1$ --- ### 4) Упростим выражение: $$ \frac{a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{a^{\frac{4}{3}} - \sqrt[3]{a^2 b^2} + b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} $$ 1. Запишем корни в знаменателях через степени: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$, $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$, а также $\sqrt[3]{a^2 b^2} = a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}}$. 2. Перемножим знаменатели двух дробей по формуле разности квадратов: $$ \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 - \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} $$ 3. Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов: $$ a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}} = \left(a^{\frac{2}{3}}\right)^2 - \left(b^{\frac{2}{3}}\right)^2 = \left(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right) $$ 4. Запишем общее произведение: $$ \frac{\left(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\left(a^{\frac{4}{3}} - a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{4}{3}}\right)}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} $$ 5. Сократим дробь на $\left(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\right)$: $$ \left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\left(a^{\frac{4}{3}} - a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{4}{3}}\right) $$ 6. Применим формулу суммы кубов $(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$ для $x = a^{\frac{2}{3}}$ и $y = b^{\frac{2}{3}}$: $$ \left(a^{\frac{2}{3}}\right)^3 + \left(b^{\frac{2}{3}}\right)^3 = a^2 + b^2 $$ **Ответ:** $a^2 + b^2$