ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 112

### 1) $\frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$ Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение $(\sqrt{2} + \sqrt{3})$, используя формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2 - 3} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{-1} = -2(\sqrt{2} + \sqrt{3}) $$ Раскрывая скобки, получаем: $-2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$. **Ответ:** $-2(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ (или $-2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$) --- ### 2) $\frac{\sqrt{5}}{5 + \sqrt{10}}$ Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $(5 - \sqrt{10})$: $$ \frac{\sqrt{5}}{5 + \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}(5 - \sqrt{10})}{(5 + \sqrt{10})(5 - \sqrt{10})} = \frac{5\sqrt{5} - \sqrt{50}}{5^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{5\sqrt{5} - \sqrt{25 \cdot 2}}{25 - 10} = \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{2}}{15} $$ Вынесем общий множитель $5$ за скобки в числителе и сократим дробь: $$ \frac{5(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{15} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3} $$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$ --- ### 3) $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$ Заметим, что $4 = 2^2$. Чтобы получить под знаком кубического корня точный куб ($2^3 = 8$), умножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{2}$: $$ \frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2} $$ **Ответ:** $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$ --- ### 4) $\frac{2}{4\sqrt[4]{27}}$ Сократим коэффициенты $2$ и $4$ на $2$: $$ \frac{2}{4\sqrt[4]{27}} = \frac{1}{2\sqrt[4]{27}} $$ Так как $27 = 3^3$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt[4]{3}$, чтобы дополнить подкоренное выражение до $3^4 = 81$: $$ \frac{1 \cdot \sqrt[4]{3}}{2\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{\sqrt[4]{3}}{2\sqrt[4]{81}} = \frac{\sqrt[4]{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt[4]{3}}{6} $$ *(Примечание: если в условии первой четвёрки перед корнем не было, то есть дробь имела вид $\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$, то домножением на $\sqrt[4]{3}$ получаем $\frac{2\sqrt[4]{3}}{3}$).* **Ответ:** $\frac{\sqrt[4]{3}}{6}$ --- ### 5) $\frac{3}{4\sqrt{5} - 4\sqrt{2}}$ Вынесем общий множитель $4$ в знаменателе: $$ \frac{3}{4\sqrt{5} - 4\sqrt{2}} = \frac{3}{4(\sqrt{5} - \sqrt{2})} $$ Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $(\sqrt{5} + \sqrt{2})$: $$ \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{4(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{4((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2)} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{4(5 - 2)} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{4} $$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{4}$ --- ### 6) $\frac{11}{3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}$ Вынесем общий множитель $3$ в знаменателе: $$ \frac{11}{3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} = \frac{11}{3(\sqrt{3} + \sqrt{2})} $$ Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$: $$ \frac{11(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{11(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3((\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2)} = \frac{11(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3(3 - 2)} = \frac{11(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3} $$ **Ответ:** $\frac{11(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3}$ --- ### 7) $\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ Сгруппируем слагаемые в знаменателе как $((1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3})$ и умножим числитель и знаменатель на $((1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3})$: $$ \frac{1}{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}}{((1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3})((1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3})} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} $$ Раскроем квадрат суммы в знаменателе: $$ (1 + \sqrt{2})^2 - 3 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3 = 2\sqrt{2} $$ Получаем дробь: $$ \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} $$ Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $$ \frac{(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $$ **Ответ:** $\frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ --- ### 8) $\frac{1}{3\sqrt{4} + 3\sqrt{6} + 3\sqrt{9}}$ В учебнике Алимова в данном пункте записаны кубические корни: $\frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}$. Заметим, что знаменатель представляет собой неполный квадрат суммы: $$ \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9} = (\sqrt[3]{2})^2 + \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2 $$ Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \sqrt[3]{3}$, а $b = \sqrt[3]{2}$. Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})$: $$ \frac{1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})((\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2)} = \frac{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{3})^3 - (\sqrt[3]{2})^3} = \frac{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}}{3 - 2} = \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2} $$ *(Если же решать выражение строго буквально по тексту с квадратными корнями, где $\sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{9} = 3$:* $$ 3\sqrt{4} + 3\sqrt{6} + 3\sqrt{9} = 3 \cdot 2 + 3\sqrt{6} + 3 \cdot 3 = 15 + 3\sqrt{6} = 3(5 + \sqrt{6}) $$ $$ \frac{1}{3(5 + \sqrt{6})} = \frac{5 - \sqrt{6}}{3(5^2 - (\sqrt{6})^2)} = \frac{5 - \sqrt{6}}{3(25 - 6)} = \frac{5 - \sqrt{6}}{57} $$ *).* **Ответ:** $\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}$ (по учебнику) или $\frac{5 - \sqrt{6}}{57}$ (буквально по записи)