ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1106

Для разложения биномов воспользуемся формулой бинома Ньютона: $$ (a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n b^n $$ Коэффициенты $C_n^k$ можно находить по формуле сочетаний или брать из треугольника Паскаля. --- ### 1) $(2 - x)^5$ Коэффициенты строки $n = 5$ треугольника Паскаля: $1, 5, 10, 10, 5, 1$. $$ (2 - x)^5 = 2^5 - 5 \cdot 2^4 \cdot x + 10 \cdot 2^3 \cdot x^2 - 10 \cdot 2^2 \cdot x^3 + 5 \cdot 2 \cdot x^4 - x^5 $$ Выполним вычисления: * $2^5 = 32$; * $5 \cdot 16 \cdot x = 80x$; * $10 \cdot 8 \cdot x^2 = 80x^2$; * $10 \cdot 4 \cdot x^3 = 40x^3$; * $5 \cdot 2 \cdot x^4 = 10x^4$; * $x^5$. $$ (2 - x)^5 = 32 - 80x + 80x^2 - 40x^3 + 10x^4 - x^5 $$ --- ### 2) $(x - 2)^4$ Коэффициенты строки $n = 4$ треугольника Паскаля: $1, 4, 6, 4, 1$. $$ (x - 2)^4 = x^4 - 4 \cdot x^3 \cdot 2 + 6 \cdot x^2 \cdot 2^2 - 4 \cdot x \cdot 2^3 + 2^4 $$ Выполним вычисления: $$ (x - 2)^4 = x^4 - 8x^3 + 6 \cdot 4x^2 - 4 \cdot 8x + 16 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 $$ --- ### 3) $(a + 3)^4$ Коэффициенты строки $n = 4$ треугольника Паскаля: $1, 4, 6, 4, 1$. $$ (a + 3)^4 = a^4 + 4 \cdot a^3 \cdot 3 + 6 \cdot a^2 \cdot 3^2 + 4 \cdot a \cdot 3^3 + 3^4 $$ Выполним вычисления: $$ (a + 3)^4 = a^4 + 12a^3 + 6 \cdot 9a^2 + 4 \cdot 27a + 81 = a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81 $$ --- ### 4) $(3 + a)^5$ Коэффициенты строки $n = 5$ треугольника Паскаля: $1, 5, 10, 10, 5, 1$. $$ (3 + a)^5 = 3^5 + 5 \cdot 3^4 \cdot a + 10 \cdot 3^3 \cdot a^2 + 10 \cdot 3^2 \cdot a^3 + 5 \cdot 3 \cdot a^4 + a^5 $$ Выполним вычисления: $$ (3 + a)^5 = 243 + 5 \cdot 81a + 10 \cdot 27a^2 + 10 \cdot 9a^3 + 15a^4 + a^5 = 243 + 405a + 270a^2 + 90a^3 + 15a^4 + a^5 $$ --- ### 5) $(x - 1)^8$ Коэффициенты строки $n = 8$ треугольника Паскаля: $1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$. Так как второй член равен $-1$, знаки чередуются: $$ (x - 1)^8 = x^8 - 8x^7 + 28x^6 - 56x^5 + 70x^4 - 56x^3 + 28x^2 - 8x + 1 $$ --- ### 6) $(1 - x)^7$ Коэффициенты строки $n = 7$ треугольника Паскаля: $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$. Знаки чередуются, начиная с плюса: $$ (1 - x)^7 = 1 - 7x + 21x^2 - 35x^3 + 35x^4 - 21x^5 + 7x^6 - x^7 $$ --- ### 7) $\left(x + \frac{1}{x}\right)^6$ Коэффициенты строки $n = 6$ треугольника Паскаля: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$. $$ \left(x + \frac{1}{x}\right)^6 = x^6 + 6x^5 \cdot \frac{1}{x} + 15x^4 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^2 + 20x^3 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^3 + 15x^2 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^4 + 6x \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^5 + \left(\frac{1}{x}\right)^6 $$ Упростим степени переменной $x$: $$ \left(x + \frac{1}{x}\right)^6 = x^6 + 6x^4 + 15x^2 + 20 + \frac{15}{x^2} + \frac{6}{x^4} + \frac{1}{x^6} $$ --- ### 8) $\left(2a + \frac{1}{2}\right)^6$ Коэффициенты строки $n = 6$ треугольника Паскаля: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$. $$ \left(2a + \frac{1}{2}\right)^6 = (2a)^6 + 6(2a)^5 \cdot \frac{1}{2} + 15(2a)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 20(2a)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 15(2a)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 + 6(2a) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 + \left(\frac{1}{2}\right)^6 $$ Вычислим каждое слагаемое: * $(2a)^6 = 64a^6$; * $6 \cdot 32a^5 \cdot \frac{1}{2} = 96a^5$; * $15 \cdot 16a^4 \cdot \frac{1}{4} = 60a^4$; * $20 \cdot 8a^3 \cdot \frac{1}{8} = 20a^3$; * $15 \cdot 4a^2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{60}{16}a^2 = \frac{15}{4}a^2$; * $6 \cdot 2a \cdot \frac{1}{32} = \frac{12}{32}a = \frac{3}{8}a$; * $\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}$. Получаем: $$ \left(2a + \frac{1}{2}\right)^6 = 64a^6 + 96a^5 + 60a^4 + 20a^3 + \frac{15}{4}a^2 + \frac{3}{8}a + \frac{1}{64} $$