ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 108

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Так как члены прогрессии положительны и она является бесконечно убывающей, выполнены условия: $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$. Первые три члена прогрессии равны: $b_1$, $b_2 = b_1 q$, $b_3 = b_1 q^2$. По условию задачи составим систему уравнений: $$ \begin{cases} b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 39, \\ \dfrac{1}{b_1} + \dfrac{1}{b_1 q} + \dfrac{1}{b_1 q^2} = \dfrac{13}{27}. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение: $$ b_1(1 + q + q^2) = 39 $$ Приведём слагаемые во втором уравнении к общему знаменателю: $$ \frac{q^2 + q + 1}{b_1 q^2} = \frac{13}{27} $$ Разделим первое уравнение на второе: $$ \frac{b_1(1 + q + q^2)}{\frac{1 + q + q^2}{b_1 q^2}} = \frac{39}{\frac{13}{27}} $$ $$ b_1^2 q^2 = 39 \cdot \frac{27}{13} $$ $$ b_1^2 q^2 = 3 \cdot 27 = 81 $$ Так как $b_1 > 0$ и $q > 0$, извлекаем квадратный корень: $$ b_1 q = 9 \implies b_1 = \frac{9}{q} $$ Подставим полученное выражение для $b_1$ в первое уравнение: $$ \frac{9}{q}(1 + q + q^2) = 39 $$ Разделим обе части на 3 и умножим на $q \neq 0$: $$ 3(1 + q + q^2) = 13q $$ $$ 3 + 3q + 3q^2 - 13q = 0 $$ $$ 3q^2 - 10q + 3 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 $$ $$ q_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = 3 $$ $$ q_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ Так как прогрессия бесконечно убывающая, знаменатель должен удовлетворять условию $|q| < 1$. Значение $q = 3$ не подходит. Следовательно, $q = \frac{1}{3}$. Найдём первый член прогрессии $b_1$: $$ b_1 = \frac{9}{\frac{1}{3}} = 27 $$ Найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$: $$ S = \frac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = \frac{27 \cdot 3}{2} = \frac{81}{2} = 40{,}5 $$ Ответ: $40{,}5$ (или $40\frac{1}{2}$).