ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 107

1) Запишем периодическую дробь $1,10(209)$ в виде обыкновенной дроби. Пусть $x = 1,10(209) = 1,10209209...$ Умножим обе части на $100$, чтобы перенести непериодическую часть за запятую: $$ 100x = 110,(209) $$ Период состоит из трех цифр, поэтому умножим полученное равенство еще на $1000$ (или исходное равенство на $100000$): $$ 100000x = 110209,(209) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 100000x - 100x = 110209,(209) - 110,(209) $$ $$ 99900x = 110099 $$ Находим $x$: $$ x = \frac{110099}{99900} = 1\frac{10199}{99900} $$ Числитель и знаменатель не имеют общих делителей, дробь несократима. Ответ: $1\frac{10199}{99900}$ (или $\frac{110099}{99900}$). --- 2) Запишем периодическую дробь $0,108(32)$ в виде обыкновенной дроби. Пусть $x = 0,108(32) = 0,1083232...$ Умножим обе части на $1000$, чтобы перенести непериодическую часть за запятую: $$ 1000x = 108,(32) $$ Так как длина периода равна $2$, умножим полученное равенство на $100$ (или исходное на $100000$): $$ 100000x = 10832,(32) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 100000x - 1000x = 10832,(32) - 108,(32) $$ $$ 99000x = 10724 $$ Находим $x$: $$ x = \frac{10724}{99000} $$ Сократим полученную дробь на $4$: $$ x = \frac{10724 : 4}{99000 : 4} = \frac{2681}{24750} $$ Ответ: $\frac{2681}{24750}$.