ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 1003

**1)** $b = 2$, $f(x) = 5x - x^2$, $2 \leqslant x \leqslant 5$. Найдем точки пересечения параболы $y = 5x - x^2$ с осью $Ox$: $$ 5x - x^2 = 0 $$ $$ x(5 - x) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 5 $$ На отрезке $[2; 5]$ функция непрерывна и неотрицательна ($f(x) \geqslant 0$). Фигура ограничена снизу осью $Ox$, сверху графиком функции, слева прямой $x = 2$, а справа точкой пересечения графика с осью $Ox$, то есть $x = 5$. Вычислим площадь с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{2}^{5} (5x - x^2) \, dx = \left. \left( \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{2}^{5} $$ $$ S = \left( \frac{5 \cdot 5^2}{2} - \frac{5^3}{3} \right) - \left( \frac{5 \cdot 2^2}{2} - \frac{2^3}{3} \right) = \left( \frac{125}{2} - \frac{125}{3} \right) - \left( 10 - \frac{8}{3} \right) $$ $$ S = \frac{125}{6} - \frac{22}{3} = \frac{125 - 44}{6} = \frac{81}{6} = \frac{27}{2} = 13{,}5 $$ Ответ: $13{,}5$. --- **2)** $b = 3$, $f(x) = x^2 + 2x$. Найдем точки пересечения графика функции с осью $Ox$: $$ x^2 + 2x = 0 $$ $$ x(x + 2) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = -2 $$ Так как задана прямая $x = 3$, фигура расположена на промежутке $[0; 3]$. На этом отрезке $f(x) \geqslant 0$. Левая граница фигуры — точка $x = 0$, правая граница — прямая $x = 3$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) \, dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} + x^2 \right) \right|_{0}^{3} $$ $$ S = \left( \frac{3^3}{3} + 3^2 \right) - 0 = 9 + 9 = 18 $$ Ответ: $18$. --- **3)** $b = 1$, $f(x) = e^x - 1$. Найдем точку пересечения графика с осью $Ox$: $$ e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0 $$ На отрезке $[0; 1]$ функция $f(x) \geqslant 0$. Значит, левой границей фигуры является $x = 0$, а правой — прямая $x = 1$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{0}^{1} (e^x - 1) \, dx = \left. (e^x - x) \right|_{0}^{1} $$ $$ S = (e^1 - 1) - (e^0 - 0) = e - 1 - (1 - 0) = e - 2 $$ Ответ: $e - 2$. --- **4)** $b = 2$, $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$. Найдем точку пересечения графика с осью $Ox$: $$ 1 - \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1 $$ На отрезке $[1; 2]$ функция определена и принимает неотрицательные значения ($f(x) \geqslant 0$). Левая граница фигуры — $x = 1$, правая — прямая $x = 2$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{1}^{2} \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \, dx = \left. (x - \ln|x|) \right|_{1}^{2} $$ $$ S = (2 - \ln 2) - (1 - \ln 1) = 2 - \ln 2 - 1 + 0 = 1 - \ln 2 $$ Ответ: $1 - \ln 2$.