ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 1002

**1)** По условию $a = 1$, $b = 8$, $f(x) = \sqrt[3]{x}$. На отрезке $[1; 8]$ функция непрерывна и неотрицательна ($f(x) \ge 0$), поэтому площадь криволинейной трапеции находится с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} \, dx $$ Представим подынтегральное выражение в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. Используем формулу первообразной для степенной функции $\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$: $$ S = \left. \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} \right|_1^8 = \left. \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right|_1^8 = \left. \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \right|_1^8 = \left. \frac{3}{4} \sqrt[3]{x^4} \right|_1^8 $$ Применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ S = \frac{3}{4} \left( 8^{\frac{4}{3}} - 1^{\frac{4}{3}} \right) = \frac{3}{4} \left( \left(\sqrt[3]{8}\right)^4 - 1 \right) = \frac{3}{4} \left( 2^4 - 1 \right) = \frac{3}{4} \cdot (16 - 1) = \frac{3 \cdot 15}{4} = \frac{45}{4} = 11,25 $$ **Ответ:** $11,25$ (или $11\dfrac{1}{4}$). --- **2)** По условию $a = 4$, $b = 9$, $f(x) = \sqrt{x}$. На отрезке $[4; 9]$ функция непрерывна и принимает неотрицательные значения ($f(x) \ge 0$). Вычислим площадь криволинейной трапеции: $$ S = \int_{4}^{9} \sqrt{x} \, dx $$ Запишем корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Найдем первообразную: $$ S = \left. \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} \right|_4^9 = \left. \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right|_4^9 = \left. \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right|_4^9 = \left. \frac{2}{3} \sqrt{x^3} \right|_4^9 $$ По формуле Ньютона — Лейбница получаем: $$ S = \frac{2}{3} \left( 9^{\frac{3}{2}} - 4^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{2}{3} \left( \left(\sqrt{9}\right)^3 - \left(\sqrt{4}\right)^3 \right) = \frac{2}{3} \left( 3^3 - 2^3 \right) = \frac{2}{3} \cdot (27 - 8) = \frac{2 \cdot 19}{3} = \frac{38}{3} = 12\frac{2}{3} $$ **Ответ:** $12\dfrac{2}{3}$.