Придумайте какие-нибудь четыре разных числа, среднее арифметическое которых равно: а) второму по величине числу; б) третьему по величине числу; в) полусумме второго и третьего по величине из этих чисел.

Пусть искомые числа будут $a < b < c < d$. Среднее арифметическое этих четырех чисел равно $\frac{a+b+c+d}{4}$. а) Среднее равно второму по величине числу ($b$): $\frac{a+b+c+d}{4} = b$ $a+b+c+d = 4b$ $a+c+d = 3b$ Возьмем числа 1, 3, 4, 6. Проверим: $1 < 3 < 4 < 6$. Второе число 3. Среднее: $(1+3+4+6)/4 = 14/4 = 3,5$. Не подходит. Попробуем другие: 1, 4, 5, 6. Среднее: $(1+4+5+6)/4 = 16/4 = 4$. Второе число 4. Подходит. Ответ: 1, 4, 5, 6. б) Среднее равно третьему по величине числу ($c$): $\frac{a+b+c+d}{4} = c$ $a+b+c+d = 4c$ $a+b+d = 3c$ Возьмем числа 1, 2, 4, 5. Среднее: $(1+2+4+5)/4 = 12/4 = 3$. Третье число 4. Не подходит. Попробуем: 1, 2, 5, 6. Среднее: $(1+2+5+6)/4 = 14/4 = 3,5$. Третье число 5. Не подходит. Попробуем: 2, 3, 5, 6. Среднее: $(2+3+5+6)/4 = 16/4 = 4$. Третье число 5. Не подходит. Попробуем 1, 2, 6, 9: $(1+2+6+9)/4 = 18/4 = 4,5$. Третье 6. Не подходит. Попробуем подобрать так, чтобы сумма $a+b+d = 3c$. Пусть $c=4$, тогда $a+b+d=12$. Пусть $a=1, b=3$, тогда $1+3+d=12$, значит $d=8$. Числа 1, 3, 4, 8. Проверим: $1 < 3 < 4 < 8$. Третье число 4. Среднее: $(1+3+4+8)/4 = 16/4 = 4$. Подходит. Ответ: 1, 3, 4, 8. в) Среднее равно полусумме второго ($b$) и третьего ($c$) по величине чисел: $\frac{a+b+c+d}{4} = \frac{b+c}{2}$ $a+b+c+d = 2(b+c) = 2b+2c$ $a+d = b+c$ Возьмем числа 1, 4, 5, 8. Проверим: $a=1, b=4, c=5, d=8$. Сумма $a+d = 1+8 = 9$. Сумма $b+c = 4+5 = 9$. Равенство выполняется. Среднее: $(1+4+5+8)/4 = 18/4 = 4,5$. Полусумма $b$ и $c$: $(4+5)/2 = 4,5$. Подходит. Ответ: 1, 4, 5, 8.