12. tgβ = 2,5. Найдите площадь прямоугольника.

Решение задач: 12. В прямоугольнике $ABCD$ угол $\angle ABC = 90^\circ$. В треугольнике $BKC$ угол $\angle BKC = 90^\circ$, $\angle KBC = \beta$, $CK = 10$. По определению тангенса в $\triangle BKC$: $\text{tg } \beta = \frac{CK}{BK} = 2{,}5$. Тогда $BK = \frac{10}{2{,}5} = 4$. По теореме Пифагора $BC = \sqrt{CK^2 + BK^2} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$. В прямоугольном $\triangle ABC$: $\text{tg } \beta = \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BC} = 2{,}5$. Значит, $AD = 2{,}5 \cdot BC = 2{,}5 \cdot 2\sqrt{29} = 5\sqrt{29}$. Площадь прямоугольника $S = AD \cdot BC = (5\sqrt{29}) \cdot (2\sqrt{29}) = 10 \cdot 29 = 290$. **Ответ: 290** 14. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle B = 90^\circ$) известны угол $\angle A = 60^\circ$ и катет $BC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Тогда $\angle C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $AB = BC \cdot \text{tg } 30^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2$. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. **Ответ: 2\sqrt{3}** 16. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC=20$, $AC=24$) проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. $H$ — середина $AC$, значит $AH = HC = 12$. В прямоугольном $\triangle BHC$: $BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$. Тогда $\text{tg } \angle ACB = \frac{BH}{HC} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$. **Ответ: 4/3** 18. В $\triangle ABC$ медиана $CK = 13$, $\sin \varphi = \frac{5}{13}$. В прямоугольном $\triangle ACK$ (предполагая, что $CK \perp AK$ по рисунку) или используя свойства: если $\sin \varphi = \frac{CK}{AC}$, то $AC = \frac{CK}{\sin \varphi} = \frac{13}{5/13} = \frac{169}{5} = 33{,}8$. (Примечание: исходя из рисунка, $CK$ является высотой, треугольник прямоугольный). **Ответ: 33,8**