5. Свободно падающее без начальной скорости тело в последнюю секунду падения прошло 2/3 своего пути. Найдите весь путь, пройденный телом.

5. Пусть $H$ — весь путь, $t$ — общее время падения. Тогда $H = \frac{gt^2}{2}$. Путь, пройденный за первые $(t-1)$ секунд: $H_1 = \frac{g(t-1)^2}{2}$. Путь за последнюю секунду: $H - H_1 = \frac{gt^2}{2} - \frac{g(t-1)^2}{2} = \frac{g}{2}(t^2 - (t^2 - 2t + 1)) = \frac{g}{2}(2t - 1)$. По условию, $H - H_1 = \frac{2}{3}H$. Значит, $\frac{g}{2}(2t - 1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{gt^2}{2}$, откуда $2t - 1 = \frac{t^2}{3}$, или $t^2 - 6t + 3 = 0$. Корни уравнения: $t = 3 \pm \sqrt{9-3} = 3 \pm \sqrt{6}$. Так как $t > 1$, выбираем $t = 3 + \sqrt{6} \approx 5,45$ с. Весь путь $H = \frac{g(3+\sqrt{6})^2}{2} = \frac{10(9 + 6\sqrt{6} + 6)}{2} = 5(15 + 6\sqrt{6}) = 75 + 30\sqrt{6} \approx 75 + 30 \cdot 2,45 = 75 + 73,5 = 148,5$ м. Ответ: $75 + 30\sqrt{6} \approx 148,5$ м. 6. $H = 100$ м, $v_0 = 0$. Путь за первую секунду ($t_1 = 1$): $h_1 = \frac{gt_1^2}{2} = \frac{10 \cdot 1^2}{2} = 5$ м. Найдем общее время падения $t$: $100 = \frac{10t^2}{2} \Rightarrow t^2 = 20 \Rightarrow t = \sqrt{20} \approx 4,47$ с. Путь, пройденный за $(t-1)$ секунд: $h_{t-1} = \frac{g(t-1)^2}{2} = 5 \cdot (4,47 - 1)^2 = 5 \cdot 3,47^2 = 5 \cdot 12,04 = 60,2$ м. Путь за последнюю секунду: $100 - 60,2 = 39,8$ м. Ответ: 5 м и 39,8 м. 7. $H = 100$ м, $v_0 = 0$. Время прохождения первого метра ($h = 1$): $1 = \frac{gt_1^2}{2} \Rightarrow t_1 = \sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{0,2} \approx 0,45$ с. Время падения всего тела: $t = \sqrt{20} \approx 4,47$ с. Время падения до последнего метра ($h = 99$): $99 = \frac{gt_2^2}{2} \Rightarrow t_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 99}{10}} = \sqrt{19,8} \approx 4,45$ с. Время прохождения последнего метра: $\Delta t = t - t_2 = 4,47 - 4,45 = 0,02$ с. Ответ: $\approx 0,45$ с и $\approx 0,02$ с.