В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 25 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?

Question

Вопрос:

В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 25 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $n$ — количество мальчиков, тогда количество девочек равно $25 - n$. 1. Количество рукопожатий между ребятами одного пола: - Между мальчиками: $\frac{n(n-1)}{2}$ - Между девочками: $\frac{(25-n)(24-n)}{2}$ Суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола: $S_1 = \frac{n(n-1) + (25-n)(24-n)}{2}$. 2. Количество рукопожатий между мальчиками и девочками (разнополыми): $S_2 = n(25-n)$. 3. По условию $S_1 = S_2$: $\frac{n^2 - n + 600 - 49n + n^2}{2} = 25n - n^2$ $2n^2 - 50n + 600 = 50n - 2n^2$ $4n^2 - 100n + 600 = 0$ $n^2 - 25n + 150 = 0$ Решим квадратное уравнение: $D = (-25)^2 - 4 \cdot 150 = 625 - 600 = 25 = 5^2$ $n_1 = \frac{25 + 5}{2} = 15$ $n_2 = \frac{25 - 5}{2} = 10$ Оба значения $n=10$ и $n=15$ подходят (если мальчиков 10, то девочек 15, и наоборот, симметрия задачи сохраняется). Ответ: 1. 2 2. 1015

Ответ ассистента

Другие решения