Число 21609 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 21609 = x^2 - y^2. 1. Сколькими способами это можно сделать?

Дано уравнение: $x^2 - y^2 = 21609$, что равносильно $(x - y)(x + y) = 21609$. Пусть $x - y = a$ и $x + y = b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, причем $b > a$ (так как $y > 0$) и $ab = 21609$. Складывая $x-y=a$ и $x+y=b$, получаем $2x = a+b$, откуда $x = (a+b)/2$. Аналогично, $y = (b-a)/2$. Чтобы $x$ и $y$ были натуральными, числа $a$ и $b$ должны быть одной четности. Так как их произведение $21609$ нечетно, то и $a$, и $b$ должны быть нечетными. Их сумма $a+b$ всегда будет четной. Разложим $21609$ на множители: $21609 = 3^2 \cdot 13^2 \cdot 11$ (неверно, $21609 / 9 = 2401 = 49^2 = 7^4$). Значит $21609 = 3^2 \cdot 7^4 = 9 \cdot 2401 = 3^2 \cdot 7^4 = 441 \cdot 49 = 21609$. Верное разложение на простые множители: $21609 = 3 \cdot 7203 = 3 \cdot 3 \cdot 2401 = 3^2 \cdot 7^4$. Всего делителей у числа $21609 = 3^2 \cdot 7^4$ равно $(2+1)(4+1) = 3 \cdot 5 = 15$ штук. Пары $(a, b)$ такие, что $a \cdot b = 21609$ и $a < b$ (чтобы $y > 0$), составляют $15 / 2 = 7$ пар (так как $21609$ не является полным квадратом, делителей нечетное количество, но пара $a=b=\sqrt{21609}$ дала бы $y=0$, а по условию $y$ — натуральное, т.е. $y>0$, поэтому исключаем случай $a=b=147$). Итак, $15 - 1 = 14$ делителей, пар $7$. 1. Способов: 7. 2. Наибольшее значение $x$: достигается при минимально возможном $a=1$. Тогда $b = 21609$. $x = (1 + 21609) / 2 = 21610 / 2 = 10805$. 3. Наименьшее значение $y$: достигается при $b$ максимально близком к $a$. Делители: $1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 343, 441, 1029, 2401, 3087, 7203, 21609$. Ближайшая к $\sqrt{21609} = 147$ пара — это $(a, b) = (147, 147)$, но мы должны взять $y > 0$, значит, следующая пара делителей: $(a, b) = (63, 343)$. $y = (343 - 63) / 2 = 280 / 2 = 140$. Ответы: 1) 7 2) 10805 3) 140