1. Какое количество яблок точно не могло оказаться в погребе у Царя ни в один из дней при таком условии (количество яблок выражается натуральным числом)?

Это классическая задача о числах Фробениуса (или «задача о монетах»). Нам нужно найти такие числа $n$, которые нельзя представить в виде суммы $5x + 7y$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа ($x, y \ge 0$). Давайте проверим натуральные числа: - 1, 2, 3, 4 — нельзя получить. - 5 = 5 (1 раз по 5) - 6 — нельзя. - 7 = 7 (1 раз по 7) - 8 — нельзя. - 9 — нельзя. - 10 = 5 + 5 - 11 — нельзя. - 12 = 5 + 7 - 13 — нельзя. - 14 = 7 + 7 - 15 = 5 + 5 + 5 - 16 — нельзя. - 17 = 5 + 5 + 7 - 18 = 5 + 7 + 6 (нет, это не подходит), 18 = 7 + 11 (нет). 18 нельзя получить. - 19 = 5 + 7 + 7 - 20 = 5 + 5 + 5 + 5 - 21 = 7 + 7 + 7 - 22 = 5 + 5 + 5 + 7 - 23 = 5 + 9 (нет), 23 = 5 + 5 + 5 + 8 (нет). 23 нельзя получить. Числа, которые нельзя представить в виде $5x + 7y$: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 16, 18, 23. Согласно формуле для двух чисел $a$ и $b$, наибольшее число, которое нельзя представить, равно $ab - a - b$. В нашем случае это $5 \cdot 7 - 5 - 7 = 35 - 12 = 23$. Числа, которые нельзя получить: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 16, 18, 23. Всего таких вариантов 12. Ответ: 12.